設平麵A1B1C的一個法向量是n→=(x， y， z)，AC=(-2， 2， -2)， 1B1=(-2， 0， 0)所以n→·A1B1=-2x=0， n→·A1C=-2x+2y-2z=0，令z=1，解得x=0， y=1。
故n→=(0， 1， 1)，設法向量n→與BM的夾角為φ，二麵角B1A1CC1的大小為θ，顯然θ為銳角。
因為cosθ=|cosφ|=|n→·BM||n→|·|BM|=12，解得θ=π3。
則二麵角B1A1CC1的大小為π3。
2
(1) arccos235以O為原點，分別以OB， OO1為y， z軸的正向，並以AB的垂直平分線為x軸，建立空間直角坐標係。
由題意S表=2π·22+2π·2·AA1=20π，解得AA1=3。
易得相關點的坐標分別為：A(0， -2， 0)， P(3， 1， 0)， A1(0， -2， 3)， B(0， 2， 0)。
得AP=(3， 3， 0)，A1B=(0， 4， -3)，設A1B與AP的夾角為θ，異麵直線A1B與AP所成的角為α，則cosθ=A1B·AP|A1B|·|AP|=235>0，得α=θ=arccos235，即異麵直線A1B與AP所成角的大小為arccos235。
(2) 677設平麵A1PB的法向量為n→=(u， v， w)，則n→⊥A1B， n→⊥BP，因為A1B=(0， 4， -3)， BP=(3， -1， 0)， n→·A1B=0， n→·BP=0，則4v-3w=0 3u-v=0，可得w=43v u=33v。
取v=3，得平麵A1PB的一個法向量為n→=(3， 3， 4)，且|n→|=27， A1A=(0， 0， -3)。
所以點A到平麵A1PB的距離d=|n→·A1A||n→|=1227=677。
模擬演練二十四
1(1) h=21-r2r(0 (2) 2π3。 (1) 由題意得πr2+12h2+r2·2πr=2π，則r2+rh2+r2=2，即h=21-r2r(0 (2) V=13·πr2·h=13·πr2·21-r2r=π3， r=22， h=2，母線長為322，所以θ=2π32=2π3。 2300π 設圓柱下底麵圓O的半徑為r，連接AC，由矩形ABCD內接於圓O，可知AC是圓O的直徑，於是2r=AC=62+82=10，得r=5，由AB∥CD，可知∠PBA就是異麵直線PB與CD所成的角，即∠PBA=ar2，故tan∠PBA=2。 在Rt△PAB中，PA=ABtan∠PBA=12，故圓柱的體積V=πr2·PA=π×52×12=300π。 設平麵A1B1C的一個法向量是n→=(x， y， z)，AC=(-2， 2， -2)， 1B1=(-2， 0， 0)所以n→·A1B1=-2x=0， n→·A1C=-2x+2y-2z=0，令z=1，解得x=0， y=1。 故n→=(0， 1， 1)，設法向量n→與BM的夾角為φ，二麵角B1A1CC1的大小為θ，顯然θ為銳角。 因為cosθ=|cosφ|=|n→·BM||n→|·|BM|=12，解得θ=π3。 則二麵角B1A1CC1的大小為π3。 2 (1) arccos235以O為原點，分別以OB， OO1為y， z軸的正向，並以AB的垂直平分線為x軸，建立空間直角坐標係。 由題意S表=2π·22+2π·2·AA1=20π，解得AA1=3。 易得相關點的坐標分別為：A(0， -2， 0)， P(3， 1， 0)， A1(0， -2， 3)， B(0， 2， 0)。 得AP=(3， 3， 0)，A1B=(0， 4， -3)，設A1B與AP的夾角為θ，異麵直線A1B與AP所成的角為α，則cosθ=A1B·AP|A1B|·|AP|=235>0，得α=θ=arccos235，即異麵直線A1B與AP所成角的大小為arccos235。 (2) 677設平麵A1PB的法向量為n→=(u， v， w)，則n→⊥A1B， n→⊥BP，因為A1B=(0， 4， -3)， BP=(3， -1， 0)， n→·A1B=0， n→·BP=0，則4v-3w=0 3u-v=0，可得w=43v u=33v。 取v=3，得平麵A1PB的一個法向量為n→=(3， 3， 4)，且|n→|=27， A1A=(0， 0， -3)。 所以點A到平麵A1PB的距離d=|n→·A1A||n→|=1227=677。 模擬演練二十四 1(1) h=21-r2r(0 (2) 2π3。 (1) 由題意得πr2+12h2+r2·2πr=2π，則r2+rh2+r2=2，即h=21-r2r(0 (2) V=13·πr2·h=13·πr2·21-r2r=π3， r=22， h=2，母線長為322，所以θ=2π32=2π3。 2300π 設圓柱下底麵圓O的半徑為r，連接AC，由矩形ABCD內接於圓O，可知AC是圓O的直徑，於是2r=AC=62+82=10，得r=5，由AB∥CD，可知∠PBA就是異麵直線PB與CD所成的角，即∠PBA=ar2，故tan∠PBA=2。 在Rt△PAB中，PA=ABtan∠PBA=12，故圓柱的體積V=πr2·PA=π×52×12=300π。