1664年，伊薩克·牛頓終於獲得了摘掉“仆役生”帽子的機會。隻要牛頓通過規定的學術考試，就可成為劍橋大學的一名“學者”。牛頓當然沒有錯過這樣好的機會，他如期按規定成為一名學者。這樣他不僅可以在學院享受免費的飯食，而且還有固定的薪水，不用再過“減費生”、“仆役生”的生活，可以自由自在地學習了。更為重要的是，他可以留在三一學院繼續攻讀碩士學位。如果一切順利的話，他大概可以獲得研究員的資格，從而繼續在劍橋的生活。
從1661年人劍橋大學三一學院起到1664年，牛頓在這裏已度過了4年的時光。在這4年的時光中，牛頓的學識有了很大的進步，他在4年裏由對科學的懵懂，逐漸站到了他那個時代的前列，雖有不足，但非一般人可比。
牛頓隻要通過最後一次考試就能如願拿到學士學位，他和幾百位學士學位的候選人參加了學位考試。這是他拿到學位之前的最後一次障礙。考試以古代和中世紀思想家的著作為主，注重於口頭辯論和邏輯學。然而牛頓的成績不夠理想，隻被評為二等。後世有人說：“這是三一學院評定工作的恥辱。”但這也沒有什麼奇怪的，因為這正符合牛頓的性格，由於牛頓把時間都用於實用的科學知識，不可能把時間都用於僅僅去掌握幾個單詞或邏輯關係中的細微差別，他的天賦也不在於此。但無論如何牛頓和其他25位三一學院的學生都在1665年春天如願拿到了學位證書。
雖然牛頓不是全才，但牛頓在除文法外的其他科學領域都是很出色的。在他讀書期間，他通過自己的努力，取得了不少後世公認的一些發現，有些是在完全封閉的狀態中獨立思考完成的，這些發現牛頓並未在當時立刻就公開，但從後人的眼光看在這麼年輕的時候就取得了這麼大的成績，如果它們不是發生在牛頓身上，這是不可想象的。
他發明了二項式定理，研究非彈性碰撞，研究出用無窮級數計算曲線的長度、正切和扇形的麵積，以動力學觀點研究曲線上一點的運動速度。
牛頓的才學博得了年輕的客座教授巴羅的認同，通過幾年的學習交往，牛頓和巴羅已成為感情至深的好朋友。巴羅決心把牛頓引向自然科學的更高峰，讓這個博學多才的年輕人有更大的研究空間。他決心讓牛頓成為他的助手，成為一名研究員。
在當時巴羅是那個時代有影響的數學家，能做他的助手不是很容易的事情，許多人都想謀得這個職位，這對於剛畢業的年輕人來說不僅僅是無上的榮譽，更難得的是以研究員身份工作可以拓寬研究的領域。
在黃昏後的校園中，微風拂著柳葉，在金黃的斜陽的輝映下，古老的劍橋還是那麼迷人，巴羅和牛頓走在三一學院的石階路上，這一切都像牛頓剛來時一樣，美麗而迷人。
“伊薩克，有沒有想過留下來做我的助手。”
巴羅提出這個想法前他考慮了很久，因為他早已看出站在他身旁的這位年輕學者日後的前途不可估量，但他為了能使牛頓有更好的研究環境，還是把這個想法告訴了牛頓。
“先生，我能勝任嗎?”牛頓不自信地問。
“當然能，但你也要經過一個考試。”
就這樣牛頓順利地通過了成為巴羅教授的助手的考試，成為了劍橋大學一位年輕的學者，開始了自己輝煌的科學開拓者生涯。
4.萬有引力的發現
1666年秋天，一個晴朗的午後，24歲的牛頓坐在院子裏一棵蘋果樹下一麵休息，一麵思索著有關天體運行法則的問題。
哥白尼是研究天體運行法則的一個重要學者，他首先發現天體繞著地球旋轉的理論是錯誤的，應該是地球以個軸為中心自轉，並同時繞著太陽公轉。
由於古人認為所有的星球都是繞著地球轉的，所以哥白尼的這個學說，不但震驚了世界，也震怒了那些信奉舊學說的人，尤其對篤信神意的舊教徒而言，這簡直是一件絕不容存在的邪說。因為哥白尼那時已經去世了，教會便決定嚴禁他的著作，用以取締“異端邪說”。
後來，一直到伽利略和開普勒等偉大的科學家出現，才陸續地揭露了天體運行的秘密。此後，地球不是宇宙中心的真理，已是不容否認的事實，但宇宙究竟是根據什麼法則運轉的呢?
牛頓坐在蘋果樹下，心裏一直思索著這個問題，他想：
“月球是人類最熟悉的一個星球，如果天體運行的法則在每個星球都相同的話，隻要研究地球和月球的關係，不就都明白了嗎?”
牛頓專心地想著這件事，一麵享受著迎麵而來的涼爽秋風，不知不覺竟然睡著了。
忽然吹來一陣涼風，一個蘋果落下來，不偏不倚地打在他頭上，牛頓從夢中驚醒，睜開眼睛看了看四周，才發現腳邊有一個砸爛了的蘋果。
“哦!原來是這樣。”
他自言自語地說，彎下腰把蘋果撿起來，搖搖頭無奈地笑了一笑。
這時哈娜正巧走過來，看到牛頓拿著蘋果苦笑，便挖苦他說：
“怎麼啦?哥哥，又在對蘋果說話了?”
“不是，我是在想蘋果與月亮有什麼不同?”
哈娜於是笑著說：
“這有什麼好想的，它們本來就不一樣的嘛!”
“是不一樣。找剛剛坐在這兒，睡得正香甜的時候，這個蘋果忽然從樹上掉到我的頭上，把我給嚇醒了。”
“咦!真有那麼巧的事！”
“哈娜，你知不知道，蘋果從樹上掉下來的時候，為什麼會掉到地上，而不是往天空飛呢?”
哈娜很驚訝地說：
“這有什麼好奇怪的，蘋果成熟了當然會往地上掉呀！”
“這又是什麼道理呢?”
牛頓看著蘋果，心裏不斷反複地想著這個問題。
哈娜看見哥哥那麼關注的樣子，不忍心打斷他的思緒，便獨自走回屋裏去，把牛頓一個人留在院子裏。
牛頓坐在樹下對著蘋果沉思許久，才領悟出蘋果會從樹上直接掉到地上去，是因為地球引力的作用。
一個蘋果偶然落地給人類的思想帶來了一場革命，看似有些偶然，但又是必然。見過蘋果從樹上落下的人我想是屢見不鮮的，如果是一位節儉的農民見到這樣的情形他會把這個又紅又大的蘋果與它的兄弟一樣收到儲藏室裏，心想一定要加快摘收，不然果子要爛在地裏了；如果是貪財的商人看見了蘋果，眼前就會羅列出一串數字，判斷—下像這種好品種的果子，如果收購的話會賺多少錢；如果是一個饞嘴的過路人看到了，這個蘋果一定會很快成為他嘴裏裏美味，想指望他們成為牛頓顯然是徒勞的。後來當有人問起牛頓，他是怎樣發現地心引力和其跨時代的理論時，他回答“經常思考這些問題。我總是把這些問題擺在自己的麵前，並耐心地等待著，直到黎明的晨光逐漸變為萬道光芒。”
“蘋果會因為地球引力而掉下來，為什麼月球就不會受到地球引力的影響而掉下來呢?而且它為什麼還會和地球保持一定的距離運轉呢?這是不是因為月亮和地球的距離比蘋果和地球的距離大的關係?”
牛頓百思不解。
牛頓想蘋果和地球之間有引力，月球和地球之間是不是也有引力存在呢?這個問題一直在他心中盤繞不去，忽然他想到：
小時候曾玩過一種遊戲，那是用一條細繩子綁住一塊石頭，然後把它拿在手上用力甩，石頭就會繞著圓圈打轉。如果把手當成地球，把石頭當成月球，那繩子便成了地球引力，這樣就可以了解月球為什麼會保持一定的距離繞著地球轉，而不會飛走或撞到地球了，同樣的道理，地球繞著太陽運轉，也是因為這種引力的關係。
他領悟出這個道理，心裏有說不出的愉快，但他又想：
“地球和月球、太陽之間都有引力存在，這種引力會不會因為距離不同而改變呢?”
他這時候忽然想起開普勒的第二定律，根據這個定律可以計算出行星的運行半徑。
假如有一個行星，它環繞地球一周需要27年，那麼，它和地球的距離應是它和太陽距離的九倍。
他從這個法則反推回去，結果發現了有名的“逆二乘的定律”，用這個定律可以算出地球和月球之間的引力。
後來牛頓還在《原理》中提出了萬有引力定律，這是他最著名的科學成就之一。正是這個發現奠定了天體力學的基礎，並使他能夠以此把地球乃至宇宙間萬物的運動規律和相互作用統一起來（在此之前沒有一個自然規律能夠做到）這一點)。這是一項亙古未有的劃時代的重大突破，對人類科學史產生了無可估量的巨大影響。牛頓萬有引力定律的內容是：宇宙中任意兩個質點互相吸引，引力與他們質量的乘積成正比，與它們距離的平方成反比。
牛頓究竟是怎樣發現萬有引力定律的呢?科學界存在著好多說法，最浪漫的莫過於蘋果落地的啟示。在今天，劍橋大學三一學院的博物館中還陳列著這顆啟發了牛頓的蘋果樹的一段枝幹供人瞻仰。這並非空穴來風，隨意捏造，它最初的來源是牛頓晚年的朋友斯塔克霄的一段回憶：
“在1726年4月15日午餐後，氣候宜人，我們(他和牛頓)進入花園，在同一棵蘋果樹下喝茶，當時隻有他和我，在閑談中，他告訴我他恰巧是在同樣的情況下，像以前所說的那樣，對引力的看法，浮現於腦海。那是在他坐著沉思的時候，因一個蘋果偶然落下引起的。”
事實上，牛頓並非因為一個蘋果便發明了萬有引力定律，它隻是給了他以偶然的啟發，促使他從理論上證明並用“地月檢驗”來驗證引力平方反比關係。牛頓有一句名言婦孺皆知：“如果說我比其他人看得遠些，那是因為我站在巨人的肩上。”他說得一點沒錯，正是繼承了開普勒的天體運動的三個基本原理和伽利略的物體運動學說之後，又經過了22年苦心孤詣的計算他才取得了這樣的結果。在此，讓我們看一下開普勒的定律：
行星圍繞太陽作橢圓運動，太陽是這些橢圓的一個焦點。
聯結太陽和行星的直線在相同的時間內掃過相等的麵積。
每個行星完全旋轉一周所需的時間的平方，與它到達太陽的平均距離的土方成比例。
牛頓的天才在於他將開普勒的定律和伽利略的發現結合在—起，且把對此的理解從地球擴展到了整個宇宙。他的萬有引力定律推遲了20多年才正式發表，之所以這樣原因有幾個。起初他認為地心引力僅作用於地球，後來將重力學說拓展到地球外的天體時，他無法用數學進行推算，而不得不先求出均勻的實心球體對球外質點的全部吸引力。因為地球上每一個質點吸引球外質點的力與兩個質點的質量乘積成正比，與它們之間的距離平方成反比；那麼無窮多個力又是如何合成或疊加成一個吸引力的呢?這個問題對於今天的學生們來說簡直算不得什麼，用幾分鍾便可以輕鬆作出解答，但它確實困擾了牛頓20年。最終還是牛頓定律給出了直接的解答。幾分鍾和20年的差距讓我們能夠了解到曆代科學家為了使微積分更加通俗易懂所作出的巨大貢獻。沒有他們的辛勤和汗水就沒有人類認識的進步。