第二卷 數學
第一章 概況
數學是關於數量關係和空間形式的科學。人類在早期生產活動中積累了數與形的原始知識。從古代到中世紀，逐步建立起算術、幾何與代數等初等數學的分支。十七世紀，資本主義的發展又刺激了以解析幾何和微積分為標誌的近代數學的興起。到十九世紀，主要由於非歐幾何、群論與集合論的發現，數學的發展便進入了現代時期。特別是本世紀以來，數學從研究對象到方法都發生了進一步的深刻變革，在研究內容上比以往極大地豐富了，不僅一些古典的學科被賦予了新的生命力，而且通過相互交叉滲透而開拓出一係列嶄新的領域。當前數學主要的分支學科有：數理邏輯、數論、代數、幾何（包括拓撲學）、函數論、泛函分析、微分方程、概率論與數理統計、計算數學等，以及象運籌學、控製論、數理經濟這樣一些邊緣性學科。
數學對於科學技術乃至整個社會的進步具有不容低估的意義。數學是科學的工具和語言。一門科學隻有當成功地運用數學時，才算是達到了精密與完善的地步。現代數學更是以前所未有的廣度和深度向其他科學滲透，甚至當今的社會科學也在用數學方法武裝自己。數學同時有力地影響著生產技術的發展，目前各種尖端技術與生產管理都離不開數學的應用（當然對數學與科學、技術、生產之間的關係不能作簡單的理解。純數學的發現有時隻是數學內部矛盾推動的結果，但以高度抽象的形式出現的數學理論日後可能獲得重大的應用，這在科學史上是不乏其例的），此外，數學在訓練思維、培養智力方麵發揮著基本的教育功能。數學作為一門獨立的人類知識領域，還有它自身的價值。總之，數學可以看作是人類文明的一種標誌，在曆史上，一個國家的強盛與數學的發達也表現出密切的關聯。
中國古代數學有著光輝的傳統，曾湧現出劉徽、祖衝之、秦九韶、李冶、朱世傑這樣一批傑出的數學家。他們的著述與成就，象征著中國數學在當時的領先地位。但到了近代，由於封建製度的腐朽沒落，同蓬勃發展的歐洲數學相比，中國在數學上明顯地落後了。從十九世紀中葉起，西方近代數學開始傳入中國。辛亥革命前後，中國又陸續向歐、美和日本派出了學習數學的留學生。在國內，一九一二年北京大學設立了第一個數學係（當時稱數學門），此後現代數學的專門教育便在各地相繼建立起來，數學人材逐步成長。到本世紀二、三十年代後，主要由於曾炯之、薑立夫、熊慶來、陳建功、華羅庚、蘇步青、江澤涵、陳省身等學者的工作與倡導，中國現代數學的研究事業才獲得真正的開展。一九三五年七月，中國數學會宣告成立，並於翌年創辦了《中國數學學報》。一九四一年，又在昆明籌建了中國第一個綜合性現代數學研究機構中央研究院數學研究所。該所於一九四七年在上海正式成立（一九四九年遷往台灣省），由薑立夫任所長，專任研究員有陳省身、陳建功、華羅庚、李華宗；兼任研究員有蘇步青、江澤涵、許寶、樊璣、段學複、周煒良。研究內容限於數論、代數、級數論、微分幾何、拓撲學、數理統計等純粹數學分支。
總的來說，一九四九年以前，現代數學研究事業在中國是初告形成，並有少數學者作出了有影響的成果。中華人民共和國建立之前，由於條件的限製，中國的數學研究規模小、方向窄，整個情況還是十分落後的。中華人民共和國建立之後，中國現代數學的研究事業獲得了較快的發展。
中華人民共和國建立以後，中國科學院於一九五○年六月即著手籌建中國科學院數學研究所（簡稱數學所）。一九五二年七月，該所正式成立，主要從事於數學基礎理論與應用數學的研究，由華羅庚任所長。
數學所建所的初期（一九五○年至一九五三年），除了注意到數論、代數、函數論、幾何與拓撲等國內較有基礎的分支外，同時開始重視應用數學及過去基礎薄弱的學科的發展，如彈性力學、流體力學、理論物理、微分方程與概率統計等都有人從事研究並注意培養人材，此外還設立了研製計算機的研究組。
一九五四年以後，研究工作有了較大的開展。通過一九五六年中國十二年科學技術發展遠景規劃的製訂，數學所在保障數學中各重要方向協調發展的同時，重點發展了微分方程、概率統計等與國民經濟和國防建設關係密切的分支。此外，泛函分析、數理邏輯等學科的研究也獲得了加強，並開始填補象運籌學這樣一些國際上新興而在國內完全空白的領域。同一時期，力學與計算技術方麵的研究工作則獨立出去，另行組建為中國科學院力學研究所（簡稱力學所）和中國科學院計算技術研究所（簡稱計算技術所）。
一九五八年至一九六○年"大躍進"時期，數學基礎理論的研究遭到衝擊，有關研究組室被拆散，人員全部轉向應用推廣。這種狀況到一九六一年開始扭轉，當時重新按學科建室，並通過考核對研究隊伍進行了整頓。一九六一年至一九六五年，是數學所貫徹出成果出人材方針，相對穩定的發展時期。
一九六六年至一九七一年間，由於"文化大革命"，整個研究工作被迫中斷，研究室再度撤銷。少數科研人員在極困難的條件下堅持數學理論的探索。一九七二年以後，通過貫徹周恩來總理關於加強基礎理論研究的指示，數學研究工作又重新開展起來。一九七三年恢複了研究室建製。粉碎"四人幫"以後，學術空氣活躍，純粹與應用數學各個領域的工作都得到迅速推進並走上了健康、正確的軌道。
一九七九年底，根據中國科學院決定，從數學所內分出部分人員，另行組建了中國科學院係統科學研究所（簡稱係統科學所），從事國防和國民經濟中的控製理論研究、大係統綜合研究及有關的數學邊緣學科的基礎理論研究，由關肇直任所長。與此同時，中國科學院原來的應用數學研究推廣辦公室與數學所的運籌、概率統計兩研究室部分人員合並，另行組建為中國科學院應用數學研究所（簡稱應用數學所），從事為國民經濟、國防建設和其他學科服務的數學方法和基礎的研究，由華羅庚兼任所長。
一九七三年開始籌建的中國科學院計算中心（簡稱計算中心），以計算數學為其主要任務之一。該中心於一九七七年正式成立於北京，由馮康任主任。
除北京地區直屬研究所外，中國科學院各分院的數學科研單位尚有：中國科學院武漢數學物理研究所（一九七九年成立，簡稱武漢數理所），中國科學院成都數理科學研究室（一九七六年成立，簡稱成都數理室）等；中國科學技術大學數學係（一九五八年成立，簡稱中國科技大學數學係）亦屬中國科學院領導。
中華人民共和國建立之前，全國發表數學論文的總人數僅74人；而八十年代中期國內僅中國科學院的數學所、係統科學所和應用數學所三個單位就有科研人員300餘人，加上計算中心和北京以外地區中國科學院的數學工作者，形成了一支研究門類齊全、並擁有一批學科帶頭人和科研骨幹的有實力的隊伍。
多年來，這支隊伍在中國共產黨的領導下不斷排除幹擾，堅持刻苦鑽研，為發展中國的數學研究事業而貢獻了豐富的研究成果。據統計，一九五○年至一九八三年間，中國科學院北京地區科研單位的科研人員所發表的數學論文就達2400多篇，相當於一九四九年以前全國發表論文總數的3.7倍。這些論文，內容涉及數理邏輯、數論、代數、拓撲與幾何、函數論、泛函分析、微分方程、概率論與數理統計、運籌學、控製論、數值分析、計算機科學以及數學史等現代數學的大部分領域；且越來越多的工作獲得國際同行的好評，有些還達到了世界先進水平，其中包括華羅庚的《典型域上的多元複變函數論》，吳文俊的《示性類及示嵌類的研究》，錢學森的《工程控製論》，陳景潤、王元、潘承洞的《哥德巴赫猜想的研究》，馮康的《有限元方法》，楊樂、張廣厚的《整函數與亞純函數的值分布理論》，宋健、關肇直的《飛行器彈性控製理論研究》等重大成果。少數領域和問題的研究在國際上還處於領先的地位。除了正式發表的論文之外，三十多年來中國科學院的數學工作者還堅持為社會主義建設服務的方針，積極開展應用研究，承擔實際任務，在促進國防事業現代化和工農業生產的發展方麵作出了重要的貢獻。
中國科學院的這些工作，與一九四九年以來中國整個數學界特別是高等院校的數學工作者的重要成果彙合起來，標誌著中國數學發展的水平，一九四九年以前中國數學極端落後的麵貌已經得到改變。中國數學已不再僅僅是從外國移植的殘缺枝葉，而是具備了獨立發展基礎的欣欣向榮的事業，盡管同國際先進水平相比還存在著差距。中國數學工作者正在四個現代化總目標的指引下努力縮小與國際先進水平之間的差距，中國數學發展的前景是無限廣闊的。
本章將分別簡介三十多年來中國科學院在數學各分支研究方麵所取得的主要成就。
第二章 數理邏輯
數理邏輯亦稱符號邏輯，是用數學方法來研究的邏輯。
數學所在一九五六年成立了數理邏輯研究組，後發展為數理邏輯研究室，由胡世華任主任，開始了數理邏輯的研究與培訓幹部工作，一九八五年還在中國科技大學數學係開設了數理邏輯專業，但數理邏輯學科在中國的發展卻是曲折的。中華人民共和國建立初期，由於蘇聯哲學界錯誤地批判了數理邏輯，在此影響下中國也錯誤地對待了數理邏輯學科；在"大躍進"和"文化大革命"期間，數理邏輯的工作又兩度中斷。盡管有這樣一些幹擾，但由於有關科技人員的努力，數理邏輯工作仍然取得了許多成果。
1.主要成果。
為適應計算機發展的需要，一九六○年胡世華等發表的遞歸算法論建立了字上遞歸函數。此乃世界上最早的這類工作。其後，美國、南斯拉夫等國學者也做了類似的研究。
除了自然數域上的遞歸論之外，為配合集合論的發展，國際上出現了α-遞歸論。在這一領域，中國學者有較好的工作，特別是在一九八四年證明了，對一切大於ω的α，[0,0′]ω[0,0′]α。
此外，在公理化集合論方麵中國學者建立了AFU的模型並將其應用於模糊數學；用拓撲方法研究語言Lω，ω的型結構；在廣義計算複雜性及P與NP問題方麵證明了α算子間隙定理，否定了美國學者雅各布斯（Jacobs）的猜測。
在數理邏輯應用於新技術特別是計算機科學方麵中國學者也做了不少工作。首先是為國內培養了一批軟件工作人材，不少人已成為骨幹力量。在機器證明方麵也取得了進展並出版了專著。
在非標準分析的應用方麵，中國學者用非標準分析方法給出了任意兩個廣義函數的乘積的定義和性質，這一工作包含了以往這一方麵的絕大多數工作，並得到了一係列新結果。
一九六三年，數理邏輯研究室從數學所遷到計算技術所以後，不少人改行到其他單位或其他方向（特別是計算機科學方麵）從事研究。他們為數理邏輯在其他領域的應用所做出的出色工作，將由本書其他部分介紹。
2.主要專著。
胡世華、陸鍾萬：《數理邏輯基礎》，科學出版社一九八一年出版。
第三章 數論
數論是研究數的規律特別是研究整數性質的數學分支。
數論是中國最早開拓的近代數學研究領域之一，也是數學所最早建立的兩個研究組之一，並由華羅庚任組長。他在一九五三年至一九五七年間，親自組織並領導了數論導引與哥德巴赫猜想討論班，為中國培養了一批優秀的數論學家。一九五八年底，開始了數論在近似分析中的應用的研究。一九七一年又開始了丟番圖分析、超越數論與模型式的研究，取得了很突出的成就。
.主要成果。
（1）篩法與哥德巴赫猜想。篩法肇源於公元前的"愛拉托塞（Eratostheres）篩子"，一九一九年布隆（Brun）作了重大推動後成為數論的重要方法；與這一方法密切相關的是哥德巴赫猜想，即每一大於2的偶數都是兩個素數之和。曆時兩百多年，仍為懸案。
一九五六年，王元證明了（3,4），即每個充分大的偶數都是一個不超過3個素數的乘積及一個不超過4個素數的乘積之和。這一結果，改進了蘇聯布赫斯塔勃一九四○年的結果（4,4）。一九五七年，王元又證明了（2,3），從而改善了庫恩（Kuhn）的結果：（a,b）（a＋b≤6），成為當時國際上此領域的領先結果。長期與數學所協作的山東大學潘承洞於一九六三年證明了（1,4）。一九六六年，陳景潤對篩法作了重要改進並證明了（1,2），改進了一九六五年布赫斯塔勃、維諾格拉多夫與邦別裏（Bombieri）證明的（1,3）。國際上稱（1,2）為"陳氏定理"。
（2）解析數論的其他結果。在一係列著名問題方麵，如區間中的殆素數問題，圓內整點問題，除數問題，球內整點問題，華林（Waring）問題，塔裏（Tarry）問題，孿生素數個數估計，最小原根問題等，均獲得重要進展。
（3）數論在近似分析中的應用。華羅庚與王元提出了用分圓域的獨立單位係構造單位立方體上一致分布偽隨機數的方法。由此得到的計算多重積分的近似方法有很高的精確度，而被國際上稱為"華-王方法"。
（4）其他方麵。在丟番圖逼近論，超越數論與模型論方麵亦開展了工作並獲得了一些好的結果。
2.主要專著。
（1）華羅庚：《堆壘素數論》。本書首先在四十年代由蘇聯出版。一九五三年與一九五七年分別在科學出版社出修訂本，後又被譯成日文、德文、匈牙利文與英文。本書可列入經典著作行列。
（2）華羅庚：《三角和的估計及其在數論中的應用》。本書首先應民主德國《數學百科全書》編委會邀請於一九五九年用德文出版。一九六三年科學出版社出修訂本，後又被譯成俄文。
（3）華羅庚：《數論導引》。一九六五年由科學出版社出版，後被譯成英文。
（4）華羅庚與王元：《數論在近似分析中的應用》。一九七八年由科學出版社出版，後被譯成日文與英文。
（5）王元（主編）：《哥德巴赫猜想》（論文集，英文版）。一九八四年由世界科學出版社出版。