羅巴切夫斯基創立非歐幾何
1893年，在喀山大學樹立起世界上第一個數學家的塑像。這位數學家就是俄國的偉大學者、非歐幾何的創始人之一羅巴切夫斯基(1792－1856)。非歐幾何是人類認識史上一個富有創造性的偉大成果，它的創立，不僅帶來了近百年來數學的巨大進步，而且對現代物理學、天文學以及人類時空觀念的變革都產生了深遠的影響。可是，這一重要的數學發現在羅巴切夫斯基提出後相當長的一段時間內，不但沒能贏得社會的承認和讚美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊，使非歐幾何這一新理論遲遲得不到學術界的公認。
失敗的啟迪
羅巴切夫斯基是在嚐試解決歐氏第五公設問題的過程中，從失敗走上他的發現之路的。歐氏第五公設問題是數學史上最古老的著名難題之一。它是由古希臘學者最先提出來的。公元前3世紀，希臘亞曆山大裏亞學派的創始者歐幾裏得（Euclid，約公元前330—前275）集前人幾何研究之大成，編寫了在數學發展史上具有極其深遠影響的數學巨著《幾何原本》。這部著作的重要意義在於，它是用公理法建立科學理論體係的最早典範。在這部著作中，歐幾裏得為推演出幾何學的所有命題，一開頭就給出了五個公理（適用於所有科學）和五個公設（隻應用於幾何學），作為邏輯推演的前提。《幾何原本》的注釋者和評述者們對五個公理和前四個公設都很滿意，唯獨對第五個公設（即平行公理）提出了質疑。
第五公設是論及平行線的，它說的是：如果一直線和兩直線相交，所構成的兩個同側內角之和小於兩直角，那麼，把這兩直線延長，它們一定在那兩內角的一側相交。數學家們並不懷疑這個命題的真實性，而是認為它無論在語句還是在內容上都不大像是個公設，而倒像是個可證的定理，隻是由於歐幾裏得沒能找到它的證明，才不得不把它放在公設之列。
為給出第五公設的證明，完成歐幾裏得沒能完成的工作，自公元前3世紀起到19世紀初，數學家們投入了無窮無盡的精力，他們幾乎嚐試了各種可能的方法，但都遭到了失敗。羅巴切夫斯基是從1815年著手研究平行線理論的。開始，他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設的證明。在保存下來的他的學生聽課筆記中，就記有他在1816—1817學年度幾何教學中給出的幾個證明。可是，很快他便意識到自己的證明是錯誤的。前人和自己的失敗從反麵啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設的證明。於是，他便調轉思路，著手尋求第五公設不可證的解答，這是一個全新的，也是與傳統思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設不可證的過程中發現一個新的幾何世界的。
那麼，羅巴切夫斯基是怎樣證得第五公設不可證的呢？又是怎樣從中發現新幾何世界的呢？原來他創造性地運用了處理複雜數學問題常用的一種邏輯方法——反證法。
這種反證法的基本思想是，為證“第五公設不可證”，首先對第五公設加以否定，然後用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理係統，並由此展開邏輯推演。假設第五公設是可證的，即第五公設可由其它公理公設推演出來，那麼，在新公理係統的推演過程中一定能出現邏輯矛盾，至少第五公設和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設可證”這一假設，從而也就間接證得“第五公設不可證”。
依照這個邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公設的等價命題普列菲爾公理“過平麵上直線外一點，隻能引一條直線與已知直線不相交”作以否定，得到否定命題“過平麵上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，並用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理係統展開邏輯推演。在推演過程中，他得到一連串古怪的命題，但是，經過仔細審查，卻沒有發現它們之間含有任何邏輯矛盾。於是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結果中並不存在任何矛盾”的新公理係統可構成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾裏得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設可證性的反駁，也就是對第五公設不可證性的邏輯證明。由於尚未找到新幾何在現實界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”。