分形與分維研究
1．分形與“無窮嵌套的自相似結構”
兩千多年來，古希臘人創立的幾何學，一直是人們認識自然物體形狀的有力工具。經典幾何學所描繪的都是由直線或曲線、平麵或曲麵、平直體或曲體所構成的各種幾何形狀，它們是現實世界中物體形狀的高度抽象。天文學家們用這種幾何知識構造了多種宇宙理論，建築師們利用它設計出大量宏偉的建築；以致於近代物理學的奠基者、偉大的科學家伽利略極其權威地斷言：大自然的語言是數學，“它的標誌是三角形、圓和其他幾何圖形”。
然而事實上，傳統幾何學的功能並不是那麼大的，它所描述的隻是那些具有光滑性即可微性（可切性），至少是分段分片光滑的規則形體。這類形體在自然界裏隻占極少數。自然界裏普遍存在的幾何形體大多數是不規則的、不光滑的、不可微的，甚至是不連續的。如蜿蜒起伏的山脈，曲折凸凹的海岸線，坑坑窪窪的地麵，枝幹縱橫的樹枝，團塊交疊的浮雲，孔穴交錯的蛋糕……真是奇形怪狀，千姿百態。這些形狀和經典幾何學所描述的形狀，真是大相徑庭。對於了解自然界的複雜性來講，歐幾裏得幾何學是一種不充分、不具有普遍性的抽象。1975年冬天的一天，正在思索著現實世界真實幾何形象問題的法國數學家曼德爾布羅特(Mandelbrot，B.B.)隨手翻閱他兒子的字典，注意到了拉丁字“fractus”，這個來自動詞frangere的形容詞含有破裂之意。他由此創立了“分形”(fractal)這個概念，並由此創立了“分形幾何理論”，從而把數學研究擴展到了傳統幾何學無法涉足的那些“病態曲線”和“幾何學怪物”的領域。曼德爾布羅特說：“雲朵不是球，山巒不是錐，海岸線不是圓，樹皮不光滑，閃電也不走直線。”分形幾何學所映射出的自然事物不是光滑無瑕、平坦規整的，而是凸凹不平、粗糙叢雜、扭曲斷裂、糾結環繞的幾何形體。
自然界的現象通常都發生在某種特征標度上，如特征長度、特征時間等特征尺度上。科學家關於事物特征的描述最基本的莫過於問它有多大，持續多久。這都是依賴於標度（尺度）的一些基本性質。每種事物都有其特征尺度，例如天體物理學家描寫的宇宙結構，大約在數百萬光年的範圍上；生物學家認識的微生物的結構大約有微米的長度；物理學家研究的誇克，約在10-13厘米的數量級上。每一個具體事物，都與特定的尺度相連係。幾厘米長的昆蟲與幾米、十幾米大小的巨獸在形態、結構上必然極不相同，否則它們就無法生存和繁衍。《楚辭·卜居》中說：“夫尺有所短，寸有所長”。這也是說事物都有其自己的特征尺度，要用適宜的尺去測度。用寸來量度細菌，用尺來量度萬裏長城，前者失之過長，後者又嫌太短。所以，標度是十分重要的。試圖對自然現象做定量描寫時，就必須從特征尺度入手。一個好的理論模型，往往要涉及三個層次：首先是由特征尺度確定的基本層次；更大尺度的環境就用“平均場”和決定外力的“位勢”等描寫；更小尺度上的相互作用，則以“摩擦係數”、“擴散係數”等得自於實驗的“常數”來表征。如果要從理論上對這些係數做出闡明和推算，那就必須從物質運動的更深入細微的層次上進行探討。
但是，分形幾何學卻否定了關於事物大小和久暫的區分的絕對標度性，指出對於大自然的某些現象，去尋求特征尺度是毫無意義的。曼德爾布羅特研究過電子通訊中的噪音，研究過河水泛濫的數據，還研究過棉花價格的漲落。通過這些研究，他開始形成實際的圖象。在他的關於現實的圖象裏竟然沒有二分法的位置，無法把微小的變化與宏大的變化分離開來，而是把它們緊緊地聯係在一起。他所尋找的圖象，無所謂小尺度和大尺度的差異，而是超越一切尺度；它不是左和右的對稱、上和下的對稱，而是大尺度與小尺度之間的對稱。曼德爾布羅特把1900年以來棉花價格的數據通過計算機處理，確實找到了他所追求的驚人的結果。那些從正態的誤差分布觀點看來產生偏離的數，從尺度觀點看卻發現了對稱。每一天的價格變化曲線與每一個月的價格變化曲線完全匹配。雖然其間經曆了兩次世界大戰和一次經濟大蕭條，但在60年的周期裏，竟然有價格的變異度不變的基本規律。在極為無序的大量數據的內部，竟然存在著如此出人預料的序，完全具有任意性的數據竟然被一條規律所支配，這個尺度問題看來具有自己的生命。這使曼德爾布羅特從對實際現象的研究轉向探索尺度現象。