第一部分 數學大發現
圓麵積求法
怎樣求圓麵積？這已是一個非常簡單的問題，用公式一算，結論就出來了。可是你可知道這個公式是怎樣得來的嗎？在過去漫長的年代裏，人們為了研究和解決這個問題，不知遇到了多少困苦，花費了多少精力和時間。
在平麵圖形中，以長方形的麵積最容易計算了。用大小一樣的正方形磚鋪墊長方形地麵，如果橫向用八塊，縱向用六塊，那一共就用了8×6=48塊磚。所以求長方形麵積的公式是：長×寬。
求平行四邊形的麵積，可以用割補的方法，把它變成一個與它麵積相等的長方形。長方形的長和寬，就是平行四邊形的底和高。所以求平行四邊形麵積的公式是：底×高。
求三角形的麵積，可以對接上一個和它全等的三角形，成為一個平行四邊形。這樣，三角形的麵積，就等於和它同底同高的平行四邊形麵積的一半。因此，求三角形麵積的公式是：
任何一個多邊形，因為可以分割成若幹個三角形，所以它的麵積，就等於這些三角形麵積的和。
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一個正方形，占地52900m2。它的底座邊長和角度計算十分準確，誤差很小，可見當時測算大麵積的技術水平已經很高。
圓是最重要的曲邊形。古埃及人把它看成是神賜予人的神聖圖形。怎樣求圓的麵積，是數學對人類智慧的一次考驗。
也許你會想，既然正方形的麵積那麼容易求，我們隻要想辦法做出一個正方形，使它的麵積恰好等於圓麵積就行了。是啊，這樣的確很好，但是怎樣才能做出這樣的正方形呢？
你知道古代三大幾何難題嗎？其中的一個，就是剛才講到的化圓為方。這個起源於古希臘的幾何作圖題，在2000多年裏，不知難倒了多少能人，直到19世紀，人們才證明了這個幾何題，是根本不可能用古代人的尺規作圖法作出來的。
化圓為方這條路行不通，人們不得不開動腦筋，另找出路。
我國古代的數學家祖衝之，從圓內接正六邊形入手，讓邊數成倍增加，用圓內接正多邊形的麵積去逼近圓麵積。
古希臘的數學家，從圓內接正多邊形和外切正多邊形同時入手，不斷增加它們的邊數，從裏外兩個方麵去逼近圓麵積。
古印度的數學家，采用類似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對接成一個長方形，用長方形的麵積去代替圓麵積。
眾多的古代數學家煞費苦心，巧妙構思，為求圓麵積作出了十分寶貴的貢獻。為後人解決這個問題開辟了道路。
16世紀的德國天文學家開普勒，是一個愛觀察、肯動腦筋的人。他把丹麥天文學家第穀遺留下來的大量天文觀測資料，認真地進行整理分析，提出了著名的“開普勒三定律”。開普勒第一次告訴人們，地球圍繞太陽運行的軌道是一個橢圓，太陽位於其中的一個焦點上。
開普勒當過數學老師，他對求麵積的問題非常感興趣，曾進行過深入的研究。他想，古代數學家用分割的方法去求圓麵積，所得到的結果都是近似值。為了提高近似程度，他們不斷地增加分割的次數。但是，不管分割多少次，幾千幾萬次，隻要是有限次，所求出來的總是圓麵積的近似值。要想求出圓麵積的精確值，必須分割無窮多次，把圓分成無窮多等分才行。
開普勒也仿照切西瓜的方法，把圓分割成許多小扇形；不同的是，他一開始就把圓分成無窮多個小扇形。
圓麵積等於無窮多個小扇形麵積的和，所以
在最後一個式子中，各段小弧相加就是圓的周長2πR，所以有
這就是我們所熟悉的圓麵積公式。
開普勒運用無窮分割法，求出了許多圖形的麵積。1615年，他將自己創造的這種求圓麵積的新方法，發表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。
開普勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形，並果敢地斷言：無窮小的扇形麵積，和它對應的無窮小的三角形麵積相等。他在前人求圓麵積的基礎上，向前邁出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立體幾何》一書，很快在歐洲流傳開了。數學家們高度評價開普勒的工作，稱讚這本書是人們創造求圓麵積和體積新方法的靈感源泉。