話說遞推
遞推是數學中常用的解題手法之一，有些中學生對此或許有些陌生，本文想通過幾個有趣的例子談談它。
握? 手
有五個人，若其中每兩個人都握一次手，問他們總共握多少次手？
這是一個組合問題，在高中有現成的公式好算。對於初中同學來講有無辦法可解；我們隻須簡單分析一下，答案不難得到。
我們來看下列圖例：用“點”代表人，“連線”代表握手這件事。
若隻有兩人，則握1次手（圖1）；
若有三人，可看成在兩人基礎上又添一人，此人和原來兩人每人握手一次，這時共握1＋2次手（圖2）；
若有四人，則又可視為三人基礎上再加一人，此人和原來三人各握手一次，這時共握1+2＋3次手（圖3）；
…………
如此分析下去，若有k人，則共握1＋2＋3＋…＋（k－1）次手。
當然，1+2＋3＋…＋（k-1）=k（k-1）/2，這裏正是利用了遞推方法。
顯然我們開頭問題的答案是1+2＋3＋4＝10次。
數 三 角
請你數一數圖4中一共有多少個三角形？
“這還不容易！”他也許會說，可是你動手一數就知道它並不那麼簡單了，但是利用遞推辦法，你會很容易地算出三角形的個數來。我們還是先從簡單的圖形分析起，從圖5～7你會看出：
這裏圖形下麵的數字表示該圖中三角形的個數，它們分別是1，1＋2，1＋2＋3，……往下你隻須注意到再添一個小三角形後（圖中陰影三角形），則整個圖形較前一個圖形多出4個三角形，它們分別為圖8～11。
這時三角形總數為1＋2＋3＋4。仿此分析下去我們可以得到：
由k個並列小三角形組成的圖形中，共含有1＋2＋3＋…＋（k－1）個不同的三角形。
其實，它與握手問題分析的思路是一樣的。
分? 餅
一張餅切一刀可以把它分成兩塊（圖12、13）；
切兩刀至多可把餅分成4塊（圖14）；
今問：切k刀至多可把餅分成多少塊？
直接回答並非那麼輕快，我們仍用遞推的辦法來分析。
先來看切兩刀時，第二刀與第一刀有一個交點，同時這點把第二刀切痕直線分成兩段，每一段都把原來的半張餅分成了兩部分，這時共切成2＋2塊（可以寫成1＋1＋2）；
再切一刀，若它與原來兩刀都相交，則與原切痕有兩個交點而把其自身分成三段（圖15）每一段都將所在部分分成兩塊，這樣共可切成2＋2＋3塊（它較前多了3塊，它可寫成1＋1＋2＋3）；
遞推地分析，切k刀至多可分成1＋1＋2＋3＋…＋k塊，即1＋k（k＋1）/2塊。