第一章“發展數學思想，提高數學素養“研究報告
自《九年義務教育全日製初級中學數學教學大綱》明確提出數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分以來，數學教學中如何有效地培養和發展學生的數學思想方法已經成為數學教育工作者普遍關注和潛心探索的一項重要課題。但是，就目前的初中數學教學實際來看，課堂教學中發展學生的數學思想還遠沒有落到實處，數學教學旨在提高人的數學素養仍停留在口頭上。相反，課堂教學中單純應試教學的力度還在增強，表現為：重視知識結論教學，輕視知識發生過程教學；重視知識達標評價，忽視數學思想形成評價；重視數學教育的技術功能，忽視數學教育的文化功能；重視眼前利益，忽視長遠效果。所有這些都是製約素質教育進入數學課堂教學主陣地的重要因素。毋庸諱言，學生數學思想的形成和發展比數學知識的增長和積累需要更長的時間，花費更大的精力。數學思想的教學目標及其評價較難把握，教學實踐中教師不易操作。因而，造成數學思想教學的理論研究與教學實際相脫節。為了能使這種"脫節"現象有所改觀，真正落實數學素質教育精神，我們在1993年初就開始醞釀，數學教學中如何有效地進行數學思想方法教學。提出了"發展學生數學思想，提高學生數學素養"教學實驗研究課題(簡稱為"MA"課題，"MA"是Mathematical Accomplishment的縮寫)。
一、有關概念的界定及其關係
(一)數學思想
所謂數學思想是指現實世界的空間形式和數量關係反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果。它是對數學知識和方法的本質認識，是對數學規律的理性認識。值得注意的是，數學思想與數學方法既有聯係又有區別，數學思想是數學方法的理論基礎和精神實質。數學方法是指人們解決數學問題的步驟、程序和格式，是實施有關數學思想的技術手段。數學思想具有概括性和普遍性，數學方法具有操作性和具體性，思想比方法在抽象程度上處於更高的層次。能否有意識地運用數學思想和方法處理數學問題甚至現實問題，是衡量一個人數學素養水平的重要標誌。
(二)數學素養
《九年義務教育全日製初級中學數學教學大綱》指出："使學生受到必要的數學教育，具有一定的數學素養，對於提高全民族素質，為培養社會主義建設人才奠定基礎是十分必要的。"基於上述觀點，我們認為：數學素養是指以人的先天生理特點為基礎，在後天的環境和數學教育影響下形成並發展的心理方麵的穩定屬性，它包括：數學意識即能用數學的觀念和態度去觀察、解釋和表示事物的數量關係、空間形式和數據信息；數學語言即能初步運用數學這一人際交流不可缺少的工具進行簡捷、準確地表達思維；問題解決即不僅具有一般解決數學問題的能力，而且能運用數學思維方式去處理現實問題；思維品質即具有一定的數學思維能力，形成良好的思維習慣和方法，並發展忠誠、堅定、自信、嚴謹求實的精神品格等。
(三)數學思想、數學思維能力、數學素養三者之間的關係
數學思想是人們對數學知識和方法形成的規律性的理性認識、基本看法。這些看法和認識是通過思維活動對數學對象所作出的概括反映，它是數學思維活動的產物。另一方麵，數學思想還是思維活動的基礎，它對思維活動有很大影響。數學思維過程受到思想的指導、監控和製約，並能影響思維的效率。具體表現為：一是數學思維能力通過數學思想作為中介來指導數學思維活動。較高層次的運算能力的形成是要能夠善於依據問題的條件尋求合理、簡捷、準確的運算途徑，而這運算途徑的選擇必須依賴於化歸思想來導向，掌握"換元、配方、待定係數"等數學方法。同樣，邏輯思維能力和空間想象能力也必須借助於抽象概括、類比猜想、歸納、演繹等數學思想方法去指導思維活動，才能有效發展。二是數學思想的發展有助於知識轉化為能力。數學思想是數學知識、方法的精髓。它能將零散的數學知識"吸附"起來，使知識結構得到優化，認識結構迅速構建，進而提高數學能力。例如，學生通過某個具體數學問題的求解，掌握了設參數求解的方法，若他能借用這個方法處理同類問題，則說明他已有知識向能力轉化的趨勢。若他能進一步認識到，設參數之所以能解決許多問題，是因為參數在解題中起著橋梁或紐帶作用，從而獲得了"抓中介"這種一般性的整體轉化的思想，形成了知識廣泛遷移的基礎，標誌著能力的形成和增長。
數學思想是數學素養的重要組成部分。數學深刻的智力價值、應用價值和文化價值皆寓於數學知識和數學思想方法之中。所以，發展數學思想不僅能開發學生的智力、培養學生的能力(如前所述)，而且對提高學生的精神境界和科學文化素養有著巨大作用。例如，發展學生的化歸思想，不僅能使學生懂得和掌握化歸的意義和方法，而且在此基礎上形成優化意識。這種優化意識是未來信息社會每位合格公民所必備的重要素養之一。像少花錢多辦事，少投入、多收益，各種經濟運行方案的優化設計等都是優化意識的再現。而要實現最優化目標，還必須具備較好的自覺性、堅持性、忍耐性等意誌品質。可見，發展數學思想的教學過程本身也是提高學生數學素養的重要途徑，況且學生數學思想的形成將使其盡早受益、終身受益。
二、理論假說及其依據
我們認為，數學課堂教學若能在傳授知識的過程中，有計劃、有目的、科學地滲透數學思想方法，發展學生的數學能力，就能極大地提高數學教學質量，全麵提高學生的數學素養。
其理論依據主要有兩點。第一，數學思想既抽象又樸素，它具有普遍適用性和共有性。盡管青少年學生還不具備完整的、清晰的、係統的數學思想，但他們或多或少都有某種"數學思想"的認識或體驗，比如分類意識類比、化歸、整體思想等都可以在生活中找到許多具體生動的體現。當然，這些認識或體驗是不自覺的、膚淺的、朦朧的。但是，它又確確實實存在於學生的思維之中。此外，學生每天接觸的數學教材中，存在著大量的可供抽象、概括的具體素材，並且經抽象概括後又有廣泛的應用領域。如教材中的定理、公式等都是某種(些)數學思想的具體體現的結果。因而，學生接受數學思想是基於主客觀兩方麵的前提條件，是有一定基礎的。另一方麵，數學中的思想也是人們長期思維活動的產物和結晶，它又具有社會共有性。《九年義務教育全日製初級中學數學教學大綱》明確指出："初中數學中的基礎知識包括初中代數、幾何中的概念、法則、性質、公式、公理、定理等，以及由其內容所反映出來的數學思想和方法。"即把數學思想和方法視為人類共有的重要精神財富--數學知識的重要組成部分。所以，數學思想具有數學知識的某些基本特征。既然如此，我們就可以把數學思想當作知識那樣傳授給學生，並且可以用數學語言來描繪它、解釋它，用生活中的實例來驗證它、活化它。如我們可以向學生解釋"化歸思想"就是將麵臨的問題，轉化歸結為已經解決或容易解決的問題。並且可用類似"曹衝稱象"、匈牙利著名數學家P·羅莎的"數學家燒開水"等一些典故進一步闡述數學思想及其功用，使學生感覺到數學思想並非虛無縹緲的幻影，而是實實在在、生動活潑的存在於頭腦中的知識。但是，這種萌芽期的數學思想還是一種方法性、工具性的知識。也正是它的存在，使得數學中發展學生的數學思想才成為可能。第二，數學思想從形成到發展具有鮮明的個性特征。一個人某種數學思想的形成過程大致是這樣的，當他麵臨要解決的數學問題時，他就會基於原有的數學修養以及非智力因素心理品質，在頭腦中構成一種對要解決的問題做出反應的前提條件--立場、角度或觀點。在這種觀點的作用下，該數學問題在他的頭腦中形成一種心理學上稱為表象的產物(經過感知的客觀事物在頭腦中再現的形象)，這是一種由感知到抽象思維過渡的必要中間環節，由此產生了不甚清晰、準確，也不成體係的零散的"思想萌芽"。它是數學思想的雛形，是最低層次的思想認識，而當這種初步認識逐步概括成為一種以部分事實為依據含有猜想成份的假說，並在一定範圍內得到證實其真理性之後，就形成了一種學說，它是關於某類數學問題的規律性的一種認識結果，這就是一種數學思想。可見，數學思想是個體思維活動的產物，它反映了學生的認識、觀點、方法、態度和習慣等個性特征。可以說，任何兩個學生的數學思想都是存在著差異的，因此，學生雖然具有了某些知識形態(萌芽期)的數學思想，但不經過自己獨立的思維活動，不通過親自的數學實踐活動，是不可能發展為帶有個體特色的數學思想的。換言之，而學生隻有把知識形態的數學思想與其親身體驗、經驗、心理活動結合起來，才能形成活化的、認知形態的數學思想。由於現實生活中存在著這兩種不同形態的數學思想，因而，在數學教學中我們就可以把知識形態的數學思想像傳授知識那樣，灌輸給學生。當然，這種灌輸與知識傳授還有不同，先讓他們構建起數學思想的大體框架，起初這種思想框架對學生來講可能是空洞的，未被理解認識的，然後再讓學生通過自己的思維活動逐步理解它、檢驗它、豐富它並內化為認知形態的數學思想，構建起較為係統的、獨立的、活化的數學思想體係，從而實現數學教學中發展學生數學思想，提高學生數學素養的目的。