第9章(1 / 1)

?且f(x)≥0.

(1)求a的值(2)證明:f(x)存在唯一的極大值點?,且?<f(?)<?

對於f(x)的式子我們經過觀察得到可以提出來公因式x,並且由於對數函數的定義域可知x非負,又由f(x)≥0?ax-a-lnx≥0,並令g(x)=ax-a-lnx≥0

對於(1),顯然由觀察可得g(x)的一個零點為x=1(對於超越方程我們通常先通過觀察與帶入特殊值的方法以得到隱零點的值)?g(1)為g(x)的極小值點?g‘(1)=0?a=1,接下來證明必要性:

當a取1時,g’(x)=1-1/x,可得當?(0,1)時,g‘(x)<0,g(x)?;?(1,?)時,g’(x)>0,g(x)??g(x)≥g(1)=0,即f(x)≥0,故a=1為其充分必要條件,即a=1

接下來是(2):

由(1)得?,求導得f‘(x)=?,觀察得f’(1)=0,對導函數f‘(x)求導?f’’(x)=2-1/x,有:

?時,f‘‘(x)<0,f’(x)?;?時,f‘‘(x)>0,f’(x)?

所以f‘(1/2)=-1+ln2<0是函數f’(x)定義域上的極小值,又有f‘(?)=?>0且f’(x)在???f'(x)在?上存在唯一零點?

即在?上f‘(x)>0,f(x)?;在?上f‘(x)<0,f(x)??f(x)存在唯一極大值點(?,f(?))?f’(?)=0?ln?=2?-2,帶入f(?)即有:

f(?)=?

又?且?<1/4(由均值不等式可得):

f(?)<1/4=?,f(?)=?,所以有:

f(?)>f(?)>?