概率論的緣起
自然界裏存在許多現象，在一定條件下可能發生，也可能不發生。例如，同學們相約在兩個月後的某一個星期日去旅行，而這一天恰好是晴天；調試一架新裝好的自動化機器，從試製的產品中抽取一件恰好是次品；等等。這些都是在相應條件下的隨機事件。某種情形是否出現具有偶然性，人們希望能揭示出偶然性事件中所蘊含的規律。概率論就是研究隨機現象數量規律的數學分支。
概率論有著廣泛的應用。例如，在工業生產中加強質量管理，需要對產品進行檢查。由於大規模的生產產品數量太大，不可能采用全麵檢查的辦法；另外，有些產品在檢查時具有破壞性，如檢查火柴的質量。這就需要隻抽查部分產品來估定廢品率，從而及時了解生產的狀況。使用“抽樣檢查”的方法需要合理地進行抽樣才能作出科學的估定，它需要以概率論這門科學理論和分析方法作為依據。再如，保險公司需要贏利，就需要計算、分析偶然現象的規律，估計出現事故的概率，從而確定應收取保險金的百分率。這些都是根據大量的統計資料，從大量有關事件中分析計算出來的。再有，如氣象、降水、地震、病蟲害、人口等方麵的予報工作，都離不開概率論的有關知識。社會實踐不斷地提出問題，促使概率論理論的發展。概率論不僅應用到國民經濟、工農業生產等部門中去，而且對現代物理、生物、醫學等學科都產生重大影響。許多新興的應用數學，如信息論、對策論、排隊論、控製論等，都是以概率論為基礎而發展起來的。
概率論有悠久的曆史，它的起源與博奕問題有關。16世紀，意大利的一些學者試圖對擲骰子這類賭博遊戲中出現的機會進行估計，開始研究一些簡單問題。例如，同時擲兩顆骰子，出現點數之和為9或10，哪種可能性更大?我們知道，骰子是一種立方體形狀的方塊遊戲工具，它有六個側麵，每個麵刻上1到6個淺的小凹坑作為標記。骰子的前身是由像羊或鹿這類有蹄動物的距骨簡單加工而成的。考古學家發現，埃及第一王朝(約公元前3500年)以前已經用距骨作各種遊戲，有一幅埃及的墓穴畫，畫了一個貴族作遊戲的情景。大概在公元前1200年，這種立方形的骰子逐漸產生，它比距骨更適宜在遊戲中作為隨機的工具。古時候，人們對於骰子落下不同麵的規律性還不可能有清晰的認識。因為計算經驗概率需要進行長時間的試驗，並記錄數據資料。因此隻有在人們的書寫和計算能力達到一定水平後才有可能。
羅馬的皇帝及其大臣們都愛好賭博。有一個叫克勞迪烏斯(公元前10年到公元54年)就很迷戀擲骰子，還寫過一本題為《怎樣在擲骰子中取勝》的書，可惜已經失傳。
一般認為，法國數學家B·帕斯卡、P·de費烏及荷蘭數學家C·惠更斯等人是概率論早期的創立者。刺激數學家思考概率論的一些特殊問題來自賭博者的請求。1654年一個有經驗而能幹的賭博者C·梅累向帕斯卡提出了一個使他苦惱了很久的問題，因為他對此問題的理論推斷往往與實際情況不符合。這個問題即曆史上有名的“得分問題”：甲、乙二人各出同樣的賭注，用擲硬幣作為博奕手段。每擲一次，若正麵朝上(記作正)，甲得1分，乙不得分；若反麵朝上(記作反)，乙得1分，甲不得分。誰先得到事先約定好的分數，就贏得全部賭注。現在進行到甲還差2分，乙還差3分，就分別達到約定好的分數時，如果賭博中止不再繼續下去，問怎樣分配賭注才公平合理?這個問題引起了帕斯卡極大的興趣，他寫信同費馬討論，兩位數學家之間展開了非同尋常的通信，分別正確地解決了這個問題，對概率論的產生有巨大影響。
1654年7月29日，帕斯卡把得分問題和他的解法寄給了費馬。帕斯卡的解法用到了“帕斯卡三角形”的知識，解法比較精細也便於推廣。費馬給出的解法比較直接、簡單也比較好懂。我們先介紹費馬的方法。
為了確保能分出勝負，最多再擲4次硬幣就可以了。如前邊所說，硬幣正麵朝上用正表示，反麵朝上用反表示，再擲4次一共有16種可能的情形，把擲4次每種可能的情形都寫在下麵：