劉徽
劉徽淄鄉(今山東鄒平)人。生卒年不詳，活動於公元3世紀。數學。
劉徽自述“幼習《九章》，長再詳覽，觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意，是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注”。《晉書》、《隋書》之“律曆誌”稱“魏陳留王景元四年(公元263年)劉徽注《九章》”。《九章算術注》原10卷，第10卷“重差”為劉徽自撰自注，大約在南北朝後期單行，因其第1問為測望海島之高、遠，遂稱為《海島算經》。唐李淳風編纂《算經十書》，劉、李注《九章算術》與《海島算經》並列為其中的兩部。劉徽又著《九章重差圖》1卷，已失傳。劉徽在北宋大觀三年(1109)被封為淄鄉男。同時所封60餘人，多依其裏貫。據《漢書》“地理誌”、“王子侯表”以及北宋王存《元豐九域誌》所載資料考證，淄鄉在今山東省鄒平縣境，漢淄鄉侯為文帝子梁王劉武之後。
《九章算術》及劉徽前的中國數學劉徽登上數學舞台時，麵對著一分堪稱豐厚而又有嚴重缺陷的數學遺產。其基本情況是：世界上當時最先進的十進位值製記數法和計算工具算籌在中國使用已千年左右，算籌的截麵已由圓變方，長度縮短為8—9厘米，籌算四則運算法則已確立。西漢張蒼、耿壽昌在先秦遺文基礎上刪補而成的《九章算術》集先秦到西漢中國數學知識之大成，並在東漢成為官方製造法定度量衡器所依據的數學經典。《九章算術》包括方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九部分內容，奠定了中國古代數學的基本框架；提出了近百個一般性公式、算法，確立了以計算為中心的特點；含有246個應用題，體現了數學密切聯係實際的風格；確定了中國古代數學著作算法統率應用問題的基本形式。它提出了完整的分數四則運算法則，比例和比例分配法則，開平方、開立方法則，盈不足術，方程術(即線性方程組解法)，正負數加減法則，若幹麵積、體積公式及解勾股形公式，除個別失誤外，都是正確的，許多成就處於當時世界領先地位。《九章算術》之後，中國數學著述采取兩種形式，一是為《九章算術》作注，一是以《九章算術》為楷模編纂新的著作。但是，《九章算術》隻有術文、例題和答案，沒有任何證明。漢魏時期，許多學者如馬續、張衡、鄭玄、劉洪、徐嶽、闞澤等都研究過《九章算術》，他們的著作失傳，但由劉徽《九章算術注》中“采其所見”者，可以了解其大概。數學家們力圖改進圓周率值，成績卻不理想，如張衡求
補方法證明幾何問題。對平麵圖形，後人稱作圖驗法，在直線形中，它是可靠的，但在曲線形中，卻不能真正完成證明。對立體圖形，後人稱作圖驗法。劉徽說：“說算者乃立三品，以效高深之積。”三品即長、寬、高均1尺的立方、塹堵(斜解立方得兩塹堵)、陽馬(即直角四棱錐，斜解塹堵得一陽馬，及一鱉，即各麵均為勾股形的四麵體)。一般說來，驗法隻可用來驗證標準形立體的體積公式，對一般情形則無能為力。人們在論證圓錐、圓亭、球等體積公式時，采用比較其底麵積的方法。這是祖氏原理的最初階段。齊同原理在數學計算中已經使用。總之，人們盡管在論證《九章算術》公式的正確性上作了可貴的努力，為劉徽采其所見準備了豐富的資料，但這些方法多屬歸納論證，對《九章算術》大多難度較大的算法尚未給出嚴格證明，它的某些錯誤沒有被指出。劉徽之前的數學水平沒有在《九章算術》的基礎上推進多少，這就給劉徽“探賾之暇，遂悟其意”，留下了馳騁的天地。自然，他的業績主要在數學理論方麵。
算法及其綱紀——率長於定量分析，以算法為中心，是中國古代數學的特點。《九章算術》上百個一般性公式、解法，每個都是一種算法，除個別失誤外，都具有完全確定性、普適性和有效性等現代算法理論對算法的要求。劉徽《九章算術注》的主要篇幅在於對《九章算術》算法的正確性進行證明論述。進行計算，關鍵在於找到一種量作為標準，進而找到各種量之間的關係，這就是率。率的本意是規格、標準。經過《孟子》、《墨子》、《周髀》等階段的演變，到《九章算術》，率成了一個明確的數學概念。劉徽認為“凡九數以為篇名，可以廣施諸率”，借助率論證了《九章算術》的大部分算法，約200個題目，使率的應用空前廣泛深化，把率概念提高到理論的高度。劉徽給出了率的定義：“凡數相與者謂之率。”相與即相關，數在這裏是量。一組量，如果它們相關，就稱為率。由此劉徽得出率的性質：“凡所得率知，細則俱細，粗則俱粗，兩數相抱而已。”換言之，一組有率關係的數，在投入運算時，其中一個擴大(或縮小)某一倍數，其餘的數必須同時擴大(或縮小)同一倍數。劉徽進而提出了率的三種等量變換：乘以散之，約以聚之，齊同以通之。它們最初都是從分數運算抽象出來的。分數的分母、分子可以看作相與的兩個量，因而成率關係，關於分數的三種等量變換自然推廣到率中來。實際上，劉徽關於率的定義就是在經分術(分數除法)注中提出來的。成率關係的一組數若有等數(公因子)，則可用此等數約所有的數，是為約以聚之。相反，對成率關係的一組數可以同時擴大某倍數而不改變率關係，是為乘以散之。利用這兩種等量變換可以把成率關係的一組數化成沒有公因子的一組整數，從而提出了相與率的概念。“等除法實，相與率也”。劉徽的運算大都使用相與率。隻有將幾個分數化成同一分數單位才能作加減運算，於是產生了齊同術。劉徽說：“凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。齊者，子與母齊，勢不可失本數也。”同樣，對比較複雜的問題，常常有相關的分別成率關係的兩組或幾組數，要通過齊同，化成有同一率關係的一組數，齊同原理成為率的一種重要運算。劉徽說：“齊同之術要矣，錯綜度數，動之斯諧，其猶佩解結，無望而不理焉。”劉徽對齊同原理的應用是多方麵的。若甲、乙之率為a，b，乙、丙之率為c，d，欲從甲求丙，可以先從甲求乙，再從乙求丙，稱為重今有術。劉徽認為，亦可應用齊同原理，先同乙之率，為bc，再使甲、丙之率與乙相齊，分別為ac，bd，則三率悉通，然後應用今有術。劉徽指出。“凡率錯互不通者，皆積齊同用之。放此，雖四五轉不異也；”劉徽創造的方程新術，就是先求出諸物的兩兩相與之率，再通過齊同，化成同一率關係，用今有術或衰分術求解。同一問題，同什麼量，齊什麼量，可以靈活運用。對均輸章第20—26問即鳧雁類問題，劉徽提出了兩種齊同途徑。鳧雁問是：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？”其解法，可以“齊其至，同其日”，則63日鳧9至，雁7
日。亦可同其距離的分割，齊其日速。南北海距離63分，鳧日行9分，雁日行7分。並鳧雁一日所行，以除南北海距離，而得相逢日。兩種方式，殊途同歸，都證明了《九章算術》術文的正確性。盈不足問題在《九章算術》中占有重要地位。即使一般算術問題，通過兩次假設，都可以化成盈不足問題(在非線性問題隻可得近似解)。《九章算術》首先給出了一般方法：“置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，並以為實，並盈、不足為法。實如法而一。”設所出a1，盈b1，所出a2，不足b2，則不盈。
方程術即線性方程組解法是《九章算術》最值得稱道的成就。《九章算術》按分離係數法列出方程，相當於現在的矩陣和增廣矩陣。然後用直除法消元，直到每行剩一個未知數，從而求得方程的解。劉徽把率的思想拓展到方程術中，提出方程是“令每行為率”，因而可以對整行施行乘以散之，約以聚之，並在各行之間施行齊同以通之，從而建立了常數與整行的乘除運算，以及兩行之間的加減運算。劉徽接著提出了“舉率以相減不害餘數之課”的原理作為方程術消元的理論基礎。直除法是以甲行某係數乘乙行，再從乙行反複減甲行，直至該係數化為零。劉徽認為直除法符合齊同原理，同是同兩行相應的未知數係數，齊是使一行中其餘各項係數及常數項與該項係數相齊。劉徽進而創造了互乘相消法，與現今消元法無異。劉徽認為，上述原理和方法對負係數方程同樣適用：“赤黑相雜足以定上下之程，減益雖殊足以通左右之數，差實雖分足以應同異之率。然則其正無入負之，負無入正之，其率不妄也。”此處“赤黑”即正負數。五家共井問6個未知數，隻能列出5行。《九章算術》按方程術解而實際上把一組最小正整數解作為定解。劉徽認為這是“舉率以言之”，承認它是不定問題，是為中國古算中第一次明確提出不定方程。劉徽還把率廣泛用於麵積、體積和勾股等幾何計算中。相似勾股形“相與之勢不失本率”，是劉徽概括出的一條重要原理。《九章算術》勾股容圓徑的公式是d=2ab/(a+b+c)。劉徽用衰分術的證明是：過圓心作平行於弦的直線，分別與勾、股及垂直於勾、股的半徑構成與原勾股形相似的小勾股形，且其周長分別等於勾、股，如圖2。設勾上小勾股形邊長為a1，b1，c1，則a1:b1:c1=a:b:c，且a1+b1+c1=a，由衰分術，b1=ab/(a+b+c)，d=2b1=2ab/(a+b+c)。其他測望問題和重差問題亦可借助率解決。劉徽說：“乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎？”顯然，劉徽把率看成數學運算的綱紀。劉徽認為，今有術在算法中起著基礎性作