悖論趣話 悖論的實質
一句簡單的“我在說謊”困繞了2000多年來的哲學家、數學家和邏輯學家，有人為其煩惱，有人為其傾盡心血，甚至有人過早地喪失了生命。就說謊者悖論本身的含義來講，它確實沒有多大的意思。之所以能引起這麼多人的關注，是因為它表現了“否定概念的自我涉及”如何反映出概念和命題的矛盾本性，揭示了形式邏輯思維本身的局限性。
形式邏輯的思維以事物的相對穩定性為基礎，它的基本規律就是同一律、不矛盾律和排中律。它要求對問題作出肯定或否定的答複，而這就需要對事物進行分解、割裂。形式邏輯習慣於把不間斷的東西割斷，把一個對象實際上聯結在一起的各個環節分隔開來考察。
惠施的“曆物十事”中有一個著名的命題：“連環可解也。”所謂“連環”，就是一個個的小環首尾相連而形成的大環。關於這個命題，人們有種種解釋，其中有一種解釋非常有趣。
秦昭王派人送了一個連環給齊威王，說：“齊多智，解此環不？”齊威王拿起錘子就把連環給“解開”了，也就是把連環砸斷，並回答秦使說：“謹以解矣。”
這種解法就是形式邏輯的方法。在認識的過程中這是很必要的。正如列寧所說：“如果不把不間斷的東西割斷，不使活生生的東西簡單化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那麼，我們就不能想象、表達、測量、描述運動。”但是，這種分裂後的事物已不是原來活生生的事物自身。例如，上述的連環是無始無終，無限循環的，砸開以後就出現了兩個頭，形式邏輯就硬性地給它們規定一個是始，一個是終，也就是說，把原來既是始又是終，即集始終於一體的環割裂開來。但當人們再把它們接起來後，“始”、“終”又連在了一起，形式邏輯讓你回答到底這一環是“始”，還是“終”。這時，你回答是“始”，它又是“終”，回答說“終”，它又變成了“始”，在形式邏輯看來，這就是悖論。
所以，悖論實質上不過是客觀對象的辯證性與形式邏輯思維方法矛盾的集中體現。具體地說，客觀對象是對立環節的統一體（如連環就是既包含了始又包含了終），然而，由於形式邏輯思維方法的限製，客觀對象的這種辯證性有時遭到歪曲，對立的環節被絕對地割裂並片麵地誇大，以至達到僵化的程度，從而辯證的統一就變成絕對的對立；而如果再把它們機械地（而不是有機地）重新聯結起來，對立的環節就產生直接的衝突，悖論就是不可避免的了。
例如，集合在本質上是辯證的，它既是一種完成了的對象，又具有無限擴張的可能性，換句話說，集合既是我們麵前完成了的實在的對象，又是潛在的對象，即完成與過程的統一。這種辯證性在認識過程中往往被割裂開來，並被誇大為絕對的對立，當它們被機械地重新聯結起來時就會發生直接衝突，這就是悖論。比如，在康托爾悖論中，集合的冪集（即此集合的所有子集組成的集合）是可以無限增大的，也就是說，可不斷形成集合的冪集的冪集、集合的冪集的冪集的冪集等等，但同時它又包含了對所有集合完成性的肯定，也就是說，它斷定了所有集合的集合（“所有集合的集合”是把集合作為我們麵前完成了的客觀存在的整體反映的）。形式邏輯思維方式把它們割裂開來並機械地聯結起來，就形成了悖論。
悖論的實質在“對角線方法”中得到最好的體現。這種方法康托爾在證明自然數與實數不能形成一一上對應時首先使用過，他的證明是這樣的：
先證明[0，1]區間之間的實數。假設所有這些實數與自然數能一一對應，那麼，可以給它們編號列成下麵的形式：
然後，我們根據以下規則構成一個新數d＝0.b1b2……bn……：當ann=1時，bn＝0，而ann≠1時，bn=1。顯然，d不同於上表中的任何數，因為bn≠amn，即至少一位是不相同的。但由於d是[0，1]區間中的實數，依據假設，d又必須等同於表上的某一個數，矛盾！故原來的假設不能成立。