三、在劍橋
圖林作為一名享受數學獎學金的學生，於1931年10月來到劍橋王家學院。作為一名天生的學者，他感到自己如魚得水。自由與紀律對他來說安排得鬆緊適度，恰到好處。
他一去就開始參加劃船運動，1931、1933和1934年他都是八人一隊的選拔賽劃船手之一。因為是獎學金的享受者，圖林偶爾被要求在王家學院的教堂裏朗誦《聖經》，對此他隻好“欣然”從命。
到王家學院不久後，圖林在家信中寫道：“有一天我推導出一個定理，使我的一位講師頗為高興。他發現定理以前曾被一個叫西爾賓斯基的人用一種很麻煩的方法證明過，但我的方法很簡單，這樣，西爾賓斯基就輸給我了。”這清楚地說明，圖林繼續獨自進行著研究。
在1932年劍橋數學榮譽學位考試的第一部分考試中，圖林隻得了二等。這件事說明他仍舊忽視那些他當時正在學的但不感興趣的功課。相反，依照他的性格，他很可能一直埋頭於高深的研究。而對新環境的興趣分散了注意力，也可能是造成這種令人失望的重要結果。在榮譽學位的第一部分考試結束之後，他和父親到黑森林徒步旅行，結果卻很掃興，圖林在途中染上了花粉熱，躺倒了。回來以後，他照常到王家學院上了一段暑假假期課。
他同另外幾個王家學院的學生參加了反戰運動，他對反戰運動舉行的示威很感興趣，但後來再也沒有提過這類事。榮譽學位的第一、二等考試之間的那段時期，即1932年至1934年之間記錄下來的東西不太多，這期間他過得很平常，做功課、劃船、交朋友以及一般性地開闊自己的眼界等。1933年秋，他在“倫理科學俱樂部”宣讀了題為“通過數學哲學說明某些問題”的論文。
普林格爾是圖林一位同期同學，他說：“關於他，我主要記得的是我們一塊兒玩橋牌度過的那些愉快的夜晚以及他能夠幫助非數學專業的人解決某些難題的本事，這在數學家中是不多見的。他有一種方法，能用簡單語言表達複雜的數學思想，有立即看出某個特殊問題能否用數學方法解決的本事。我想，他是我們年級第一個被選為大學研究員的人，我們都認為對於這位大有前途的人來說，這是個應得的獎勵。”
圖林有時也給他的教師們留下了深刻的印象。讀大學時，他曾聽過皇家學會會員西德尼·格爾茨坦博士講授的電磁學課程。盡管從那時起已經過了大約25年的時間，但在1957年格爾茨坦給別人的信中寫到，他仍記得圖林當時交上來的出色作業。他還說：“圖林是我在劍橋任課的整個時期對其大學作業留下這樣美好印象的極少數（大概一共隻有3人）學生之一。”
無論是因為第一部分考試的結果刺激阿蘭把精力更多地集中於主要功課上，還是因為與第二部分考試有關的功課他更為擅長（可能兩種原因都有），他在最後考試裏表現出最佳競技狀態。在榮譽學位的第二部分考試中，他被列入“老製度”的處理範圍，這意味著要按B表規定的科目進行這次考試。這次考試，他得到了希望的最好結果，成為一名帶B星級別的數學學位考試的一等合格者，同時還獲得了王家學院的哈羅德·弗賴獎學金。
趁兩次考試的間隙，圖林匆匆忙忙跑回家看望準備動大手術的父親，但又不得不在B表考試之前趕回劍橋參加劃船比賽，因為他是王家學院第二賽艇的劃手。遺憾的是他們的賽艇由於在河岸邊擱淺而沒有獲勝。
1934年的假期很長，圖林的一部分假期是在家裏度過的，他哥哥舉行婚禮時，他去為哥哥作男儐相。隨後，他又回到王家學院繼續工作。
圖林的研究工作很忙，他發表的第一篇論文《左右殆周期性的等價》被菲利普·霍爾教授譽為“非常漂亮的小證明”。倫敦數學學會在1935年3月收到這篇論文，並發表在該學會雜誌的1935年第10卷上。
圖林當過一段私人輔導，可是發現這項工作費時太多，因為他正集中精力寫關於“高斯誤差函數”的論文。該論文使他在不滿23歲時就當選為王家學院的研究員。為此他的母校放半天假以示慶祝。
第二年，也就是1936年，圖林為了獲得史密斯獎提交了關於“高斯誤差函數”的論文。這篇論文再一次獲得成功，贏得了史密斯獎，母校又放了半天假以示慶祝。使人驚奇的是，他早就認為自己一定能贏得這筆獎金，甚至在數月前就已經談到打算用這筆錢買隻小帆船。
圖林有一些他自己的巧妙辦法。他常常靠觀察星星的位置來對時鍾。從一個固定位置去觀察，每隔相同的（已知的）一段時間，就有某顆星星被附近的建築物擋住。他發現這種辦法十分實用。
的確，他總能找到一種完全是自己發明的辦法來擺脫困境。有一次玩網球，為了去掉球場硬地麵上的幾窪積水，他借了對手的發卡，用它挖了幾個小洞，成功地將水排幹。還有一次，他們誰也沒有戴表，圖林就臨時做了一個日昝來看時間。
1937年，他的論文《論可計算數及其在判定問題中的應用》發表了，同年還發表了該文的一篇短小的訂正。事實表明，“可計算數”是圖林在數學上最著名的貢獻。關於這一點，《泰晤士報》在他的訃告（1954年6月16日）上寫道：“這一使圖林在數理邏輯中獲得永久地位的發現，是他在剛畢業後不久做出的。與當時希爾伯特及他所代表的哥廷根學派的流行觀點正相反，他證明了存在著這樣一類數學問題：它們不可能通過固定的和有限的過程得到解決。他的證明中的關鍵步驟是闡明一個‘可以由一台自動機完成的過程’。盡管別的作者在大致相同的時間也發表過不可解性的其他證明，但‘圖林機’仍然是這些本質上等價的理論中最生動、同時在許多方麵也是最令人信服的闡述。他當時對於‘通用’（universal）計算機的描述純粹出於理論上的目的，但是圖林對各種實際實驗的強烈愛好使他甚至在當時就對沿著這些思路實際製造一台計算機的可能性深感興趣。”紐曼教授在《皇家學會會員傳記》（1955年11月）中曾這樣提到“可計算數”：“現在很難認識到當時把紙帶及在紙帶上的穿孔模式這類話題引進數學基礎的討論中是一種多麼大膽的革新。”
下麵是羅賓·甘迪博士所做的另外一些有關的評論，這些評論曾經在《自然》雜誌上發表：
“在頭幾年的研究中，圖林曾致力於幾個專題，其中包括數論和量子力學，同時他還開始製造一台計算黎曼Z函數的機器，為此，他自己動手切削齒輪。對計算的興趣導致他直接去考慮哪些種類的計算過程能夠用一台機器來完成。
“他描述了一種‘通用’機，當向它提供適當的指令時，它可以模仿任何其它機器的行為；這樣他就能對‘可計算性’做出一種精確的定義，並證明存在一些在該種意義上其解答是不可計算的數學問題。
“這篇包含這些結果的論文，是運用圖林方法的典型。從首要原理出發，運用具體描述，建立起一個一般性的抽象結論。”
在假期裏，當圖林想談論自己的工作和準備靜下心研究數學基礎的計劃時，他就去做長時間的散步或整日外出。吉爾福德一帶的某幾處地方都會使他的朋友聯想到“變量”、“常數”及-1的平方根之類的討論。
他還千方百計讓他的母親至少能理解有關“可計算數”的論文的思路，有時還用手杖敲打地麵來闡明他的觀點。圖林總是把他出版著作的單行本送給自己的母親。
盡管母親數學水平不高，他們還是一起搞出了一篇“可計算數”的法文摘要，準備發表在法國科學院通報上。經紐曼教授加以審閱並提出修改意見後，一位法國專家又對它做了審核。
大約在1937年，圖林計劃寫一篇《論利特爾伍德的一個定理》的論文，他抱著這個目的請教了皇家學會會員利特爾伍德博士。這位博士雖然對它感興趣，但認為會出現難以克服的困難。然而圖林並沒有被嚇倒，而是在某個時期實施了自己的這個計劃，但沒有發表論文，以免會牽涉到對別人的專門研究範圍的侵犯。這篇論文被評價為是一篇具有獨到價值的著作。
四、在普林斯頓研究生院
法靈頓市場是圖林喜歡遊逛的地方。他就是在那兒弄到了一架古老的六分儀，這架六分儀成了圖林1936年9月23日飄洋過海去紐約時的裝備之一。通過自己的測量，他在給母親的家信中十分精確地標明了寫信時的經緯度。
到達普林斯頓研究生院一星期之後，他在家信中寫道：“這裏的數學係真是不負眾望，有一大批出類拔萃的數學家——馮·諾依曼、韋爾、柯朗、哈代、愛因斯坦、萊夫謝茨，另外還有許許多多相比之下不那麼重要的人物。但遺憾的是，今年卻不像去年有那麼多搞邏輯的人。”他的第二封信流露出了自己的某種失望：“有一天晚上丘奇請我出去吃飯。雖然那些來客都是大學裏來的人，但我發覺談話令人頗為失望。據我記憶所及，除了自己所來自的不同的國家之外他們什麼也沒有談論。對旅行及各地風土人情的描述使我膩煩透頂。”另一方麵，研究生們，其中有不少是搞數學的，卻無顧慮地大談本行——在這方麵與劍橋真是大相徑庭。
在普林斯頓的第一學期，圖林根據丘奇的建議講了一次關於“可計算數”的課。由於來聽的人不多，使他甚為掃興。他推斷，除非一個人已經出了名，否則他的課就不會引起人們的注意。圖林在普林斯頓還準備了群論方麵的兩篇東西。結果，一家荷蘭期刊《數學論集》於1937年3月收到其中一篇題為“一個群的擴充”的論文，並在1938年將它發表出來；另一篇論文“對李群的有限逼近”於1937年4月送到《數學年鑒》，1937年9月修訂後於1938年1月發表。
課餘，圖林喜歡朗誦劇本。他還是一個大學劇本朗誦會的會員，這個團體大多在星期日晚上聚會。想必他在這方麵幹得滿不錯，因為在王家學院他也一度是個相當排他的劇本朗誦會或俱樂部的會員。
圖林很快就開始為研究生院打曲棍球，他發覺曲棍球“非常好玩”，可是他後來過多地陷入了安排比賽的事務，已超出了自己所希望的程度。
圖林來到普林斯頓不到6個月，研究生院的院長艾森哈特先生和夫人就開始極力勸他在普林斯頓再呆一個學年。按圖林家信裏的話來說：“艾林哈特夫人提出了一些社交性的或半道義半社會學的理由來說明為什麼在這裏再度過第二學年是件好事。院長另外還暗示：隻要我提出請求就能得到普羅克特資金（一年2000美元）。”圖林對是否接受這個建議十分猶豫，部分原因是他的大多數朋友要離開普林斯頓了，另一部分原因是他不知道自己離開王家學院兩年別人會如何看待此事。盡管他本人認為“可計算數”在普林斯頓並不很受歡迎，但艾森哈特院長似乎不抱同感，因為圖林在研究生院的第一學年即將結束時，艾森哈特院長在給他母親的信中寫道：“他能到這裏同我們在一起使我們感到特別高興，這不僅是由於他個人的優秀品質，而且還因為他在數學方麵給我們留下的深刻印象。”
圖林在英格蘭度過1937年暑假之後，以一名“簡·伊萊特·普羅克特訪問學者”的身份回到普林斯頓。回到研究生院以後，他開始搞博士論文，題目是“序數基礎上的邏輯係統”。
1938年5月，圖林獲得了博士學位。這篇論文的完成時間比原計劃晚，部分原因是他按照丘奇教授的一些建議把論文加以擴充，比原來設想的長了不少，部分原因是圖林倒黴地遇到個蹩腳的打字員，他真希望能得到劍橋佩特小姐那樣的合作。
在“序數基礎上的邏輯係統”這篇論文的一個腳注中，他對丘奇教授所提出的寶貴意見和給予的重要幫助表示衷心的感謝。1939年，該文發表在《倫敦數學學會彙編》第45卷第2部分上。按照1954年11月出版的《劍橋王家學院院委會年度報告》裏圖林傳略的說法，“一些行家認為，他在普林斯頓寫的這篇關於序數邏輯的博士學位論文和他在去世前不久寫的關於字問題的著名論文，與那篇更有名的論可計算數的文章相比，無論在能力上還是在思想獨創性上，都可以說是並駕齊驅，不相上下。”