歐拉
人物簡介
學過高等數學的人都會記得歐拉常數r（Euler’sconstant），它表世紀瑞士最著名的數學家列昂納德·歐拉（LeonhardEuler）於1740年提出的，它和r函數，黎曼S函數以及伯努利數等有密切的關係。數學大師們一直在猜想它是個超越數，但至今還不知道它是不是無理數。通過近似計算6490153286060651209…，1972年已利用計算機計算算出7千位以上。
人們對於列昂納德·歐拉的讚美之詞非常多，他被稱為“無與倫比的算法學家”、“應用數學大師”、“分析的化身”、“英雄世紀的數學英雄”等等。被稱為“法國的牛頓”的數學天文學家拉普拉斯曾經說過：“讀讀歐拉！讀讀歐拉！他是我們大家的老師。”阿拉哥也曾經這樣形容歐拉：“歐拉計算毫不費力，就像人呼吸、或者鷹在風中保持平衡一樣。”如果說17世紀由於創造了兩千多年以來夢寐以求的微積分而被譽為天才的世紀，那麼18世紀由於數學家們把微積分大大向前推進，並且在各個數學技術領域取得了輝煌的勝利，而成為英雄的世紀。18世紀數學英雄的最高代表就是列昂納德·歐拉。牛頓、萊布尼茲建立的微積分為世紀數學家所掌握，向數學、物理、天文和其它各個科學技術領域開拓，取得了前所未有的進步。浩浩蕩蕩向數學征戰的旗手歐拉，以他非凡的聰明才智、勤奮勞動和驚人毅力，把微積分發展成為擁有眾多分支的分析數學。這種廣義的數學分析實際上包括了對所有運動變化的定量研究。他在幾何、代數上數量龐大的發明創造，導致了一些全新的數學分支的誕生。歐拉為促進數學空前蓬勃的發展耗盡了畢生的精力：先是獻出了他的雙目，最終是他的生命。他為人類文明建立了不朽的功勳。
歐拉是曆史上最多產的數學家，他編寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法的課本，1748年在瑞士洛桑出版了《無窮小分析引論》（兩卷），這是第一部溝通微積分與初等數學的分析著作。1755年發表了《微分學原理》（兩卷），1768～1774年發表了《積分學原理》（三卷），這對牛頓和萊布尼茲的微積分與傅立葉級數理論的發展起了巨大的推動作用。1774年，他又發表了《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的技巧》一書，使變分法作為一個新的數學分支誕生了。他還是複變函數論的先驅者。在數論研究上他也作出了卓越的貢獻，著名的“哥德巴赫猜想”就是從他在1742年與哥德巴赫的通信中引申提出來的。1766年他雙目失明後，還口述完成了《代數學完整引論》，先後有俄文、德文、法文版問世，成為歐洲幾代學者的教科書。他在概率論、微分幾何、代數拓撲學等方麵都有重大的貢獻，而在初等數學的算數、代數、幾何、三角學上的創見與成就更是比比皆是，不勝枚舉。人們可以在所有數學的分支中見到他光輝的名字：歐拉公式、歐拉函數、歐拉方程、歐拉多項式、歐拉常數、歐拉積分、歐拉線。發現立體幾何中有名的歐拉定理和建立起今天三角學科學體係的就是這位大名鼎鼎的歐拉。不僅如此，在數學以外的許多學科還有一大串以他的名字命名的專門術語來紀念他的卓越貢獻：歐拉運動學方程、歐拉流動力學方程、歐拉力、歐拉角、歐拉坐標、歐拉相關，等等。他那博大精深的學識和無窮無盡的創造力永遠是人們敬慕的對象。
有人說，歐拉寫他的高超論文，恰如文筆流暢的作家給他的至親好友寫信那樣輕鬆自如；甚至有人說，歐拉能在妻子第一次和第二次催他吃午飯的不到半小時的間隙裏完成一篇論文。在這裏姑且不論這些說法是不是言過其實，但是從這裏我們多少可以看出他那無與倫比的數學才華。多產的法國數學家柯西（1789～1857）的全集有26卷；德國數學家高斯的全集有12卷；而歐拉的一生共創作了886篇論著，他的全集共有74卷之多。除了教科書以外，在他工作的時期幾乎以每年800頁的速度寫出獨具創造性的論文。如果考慮到他生命的最後17年雙目已完全失明，就更加令人驚歎不止了。甚至到了1936年，人們也無法確切地知道歐拉著作的數量，隻是估計要出版他的全部著作需要大四開本60—80卷。1909年，瑞士的自然科學協會著手收集和出版歐拉的散軼的論文時，曾經指出：“歐拉不僅屬於瑞士，而且屬於全世界。”當時他們得到了來自世界各地的許多個人和數學團體的經濟資助。可是在俄羅斯的彼得堡（列寧格勒）發現的一大堆無可置疑的手稿，經過仔細估算過的預算費用（按1909年的貨幣計算，約合8萬美元）給徹底攪亂了。的確，被盛譽為“數學家中的英雄”的列昂納德·歐拉不愧為瑞士奉獻於世界的最偉大的科學家。瑞士的埃米爾·費爾曼評論說：“歐拉不僅僅是曆史上最有成就的數學家；而且也是曆史上最博學的人士之一。……就其聲譽而言，堪與伽利略、牛頓和愛因斯坦齊名。”
一、加爾文教牧師的兒子
在瑞士北部連綿起伏的群山之中，與德、法兩國交界的地方有一顆美麗晶瑩的明珠——巴塞爾城，清澈美麗的萊茵河從她身邊輕輕流過，好似一條絲帶把城市裝扮得分外妖嬈。巴塞爾是瑞士的學術中心，曆史上曾經產生過許多著名的大科學家，聲名顯赫的伯努利家族就居住在這裏。1704年4月15日，一陣陣嬰兒的啼哭聲打破了黎明前的寧靜，巴塞爾城市居民冊上又增添了一個新居民，保羅·歐拉和瑪格麗特·布魯克的兒子列昂納德·歐拉——一顆即將升起的巨星降生了。
第二年，小歐拉跟隨雙親遷到附近的雷欣村居住，父親保羅·歐拉就在村子裏擔任加爾文教派的牧師。
其實，保羅·歐拉本人對數學頗為在行，他曾經是著名的大數學家雅各布·伯努利的高才生。可是，他自己並不想從事數學工作，而且還想要兒子長大以後和自己一樣，在鄉村教堂當牧師。
作父親的隻指望自己的兒子繼承自己的事業，不想把孩子培養成為科學家，這類事例在科學史上屢見不鮮。像高斯的父親要兒子當花匠；維爾斯特拉斯（1815～1897）的父親要兒子當文官；黎曼（1826～1866）的父親想讓兒子當牧師等等。保羅這樣打算倒也情有可原，因為當牧師畢竟比當科學家容易，何況收入更要優厚得多呢！因此，保羅對兒子從小就灌輸了極其嚴格的宗教思想，什麼早禱告、晚禱告，每天必做，甚至在每餐飯之前都還要大講一通主耶穌的道理。歐拉早期的宗教教育影響了他的一生，他從來沒有放棄一丁點兒他的加爾文教派的信仰。確實，當他上了年紀以後，他兜了一個大圈子又回應了他父親的召喚，他帶領全家進行家庭祈禱，通常在結束時還要做一番講道。
但是保羅·歐拉有個不壞的“毛病”，就是在每到高興的時候，他會拋開天國和上帝，眉飛色舞地講起人世間迷人的自然數和三角形來。憑著他向善男信女們布道時練就的好口才，保羅把數學講述得繪聲繪色，妙趣橫生，完全將小歐拉迷住了，熱愛數學的種子就這樣默默地埋在了孩子的心田。
中學畢業以後，歐拉順從了父親的意願來到巴塞爾大學學習神學和希伯萊語。不過他心裏明白自己真正應當做的是什麼。這時保羅當年的老師雅各布·伯努利已經去世，由他的弟弟約翰·伯努利接替他擔任數學講座教授。約翰本來是位醫術高明的醫生，後來受到他哥哥雅各布的影響改攻數學。他28歲時出任荷蘭格羅寧根大學的數學教授，並且多次奪得法國科學院頒發的研究獎，成為馳名歐洲的大數學家。數學界至今仍流傳著一段有關他的軼事。為了微積分發明的優先權，約翰站在萊布尼茲一邊，同牛頓產生了相當激烈的爭論。但是，牛頓在他心目中仍然無可爭辯地享有崇高的地位。年輕時的約翰有一次在英國旅行，遇到一個外國人。這人身體微胖，長發披肩，顯然受到周圍人的極大尊敬。約翰不避嫌疑上前謙遜地介紹自己：“我是約翰·伯努利。”“我，”那人冷冷地回答，“是伊薩克·牛頓。”約翰把與牛頓的這第一次意外的會見看作是自己一生中所接受的最高貴的禮物。
這時約翰雖然已經年過半百，但是精神矍鑠，講起課來旁征博引，生動而富有感情。每逢他上課，教室裏總是座無虛席。歐拉也常去聽約翰的課。坐在教室最前排的歐拉特別引人注目。在他高高的額頭下閃爍著一對天真無邪的大眼睛。不過說他是個孩子恐怕更確切些，因為那時他的年齡最多不過十二三歲，個子足足比一般的同學矮一頭，大學生們都把他當小弟弟看待，並沒有把他放在眼裏。可是，人不可貌相。有一次，約翰在講課中無意間提到一個當時的數學家們還沒有解決的大難題。誰知下課鈴一響，歐拉不聲不響地交給他一份答案。約翰看著看著，幾乎不敢相信自己的眼睛。雖然歐拉的解答還稱不上是真正完備的，但是他構思的精巧和大膽使約翰清楚地意識到，站在自己麵前的這個瘦小的孩子，將是未來的數學巨人。這個意外的發現使約翰非常興奮，他當即決定每星期在家單獨為歐拉授課一次，幫助這個孩子盡快成長。有這樣的好機會，歐拉連做夢也沒有想到，心裏真有說不出的高興。歐拉為了盡可能少帶問題去見老師，他把一周的業餘時間都用在準備下一次課上。果然，在名師的精心指導下，歐拉的數學取得了突飛猛進的進展。他的勤奮和才能也深深的吸引了約翰的兒子丹尼爾·伯努利和尼科拉斯·伯努利，他們從此成為終身好友。
歐拉在15歲的時候獲得了巴塞爾大學的學士學位，17歲又獲得碩士學位。父親保羅要他放棄數學，把全部的精力都放在神學上。歐拉雖然篤信上帝，可是要他去做專職的神職人員，他從心底裏不願意。不過，他是個孝順的兒子，不願公然違抗父親的意誌。正在歐拉感到左右為難的時候，伯努利父子知道了這個情況，趕來為他說情。
“親愛的神甫，您知道我遇到過不少才華橫溢的青年人，但是要和您的兒子比起來，他們都相形見絀。如果我的眼光不錯，您的兒子無疑將是瑞士未來最了不起的數學家。”約翰壓製著內心激動的心情接著說，“為了數學，為了孩子，我請求您重新考慮您的決定。”
保羅不是個鐵石心腸的人，他理解約翰，也理解兒子的心情。深孚眾望的伯努利教授的一席話使得保羅認真地考慮起來。最後他改變了初衷，雖然這樣做可能會給家裏的生活帶來困難。從此以後，歐拉再也不用等到父親熟睡以後才偷偷起床來做他的計算，也不用再在數學書籍的外麵套上一張聖經的書皮來逃避父親的注意。他像放出樊籠的蒼鷹衝向自由的藍天，又像餓虎撲向麵前的食物。從古希臘的經典著作到牛頓的《自然哲學的數學原理》，恨不得一古腦地把它們全都嚼碎吞下。這些豐富的知識再好不過地促使他飛速成長。