地圖投影
地圖投影的實質是將地球橢球麵上的經緯線網按照一定的數學法則轉移到平麵上。用不同投影方法建立的經緯線網形式不同，它們的變形性質和變形分布規律也各不相同。長度變形是地圖投影的主要變形，它影響著麵積變形和角度變形。變形性質不同的投影適用於不同用途的地圖。製圖區域的範圍、地理位置和輪廓形狀決定著地圖投影應選用的構成方法。
地圖投影的基本問題
一、地圖投影的概念
地球橢球體表麵是曲麵，而地圖通常是要繪製在平麵圖紙上，因此製圖時首先要把曲麵展為平麵，然而球麵是個不可展的曲麵，換句話說，就是把它直接展為平麵時，不可能不發生破裂或褶皺。若用這種具有破裂或褶皺的平麵繪製地圖，顯然是不實用的，所以必須采用特殊的方法將曲麵展開，使其成為沒有破裂或褶皺的平麵。
由於球麵上任一點的位置是用地理坐標（緯度、經度）表示，而平麵上點的位置是用直角坐標（縱坐標x、橫坐標y）或極坐標（動徑ρ動徑角δ）表示，所以要想將地球表麵上的點轉移到平麵上，必須采用一定的數學方法來確定地理坐標與平麵直角坐標或極坐標之間的關係。這種在球麵和平麵之間建立點與點之間函數關係的數學方法，稱為地圖投影。
因為球麵上任一點的位置決定於它的經緯度，所以實際投影時是先將一些經緯線交點展繪在平麵上，再將相同經度的點連成經線，相同緯度的點連成緯線，構成經緯線網。有了經緯線網以後，就可以將球麵上的點，按其經緯度畫在平麵上相應位置處。
地圖投影的實質是將地球橢球麵上的經緯線網按照一定的數學法則轉移到平麵上。經緯線網是繪製地圖的“基礎”。它是地圖的主要數學要素。
二、地圖投影的變形
（一）變形的概念
地圖投影的方法很多。用不同的投影方法得到的經緯線網形式不同。圖2-2是幾種不同投影的經緯線網形狀。從圖上可以看出，用地圖投影的方法將球麵展為平麵，雖然可以保持圖形的完整和連續，但它們與球麵上的經緯線網形狀並不完全相似。這表明投影之後，地圖上的經緯線網發生了變形，因而根據地理坐標展繪在地圖上的各種地麵事物，也必然隨之發生變形。這種變形使地麵事物的幾何特性（長度、方向、麵積）受到破壞。為了能夠正確使用地圖，必須了解因投影所產生的變形。
現在把地圖上的經緯線網與地球儀上的經緯線網進行比較，可以發現變形表現在長度、麵積和角度三個方麵。
長度變形在地球儀上經緯線的長度具有下列特點。第一，緯線長度不等。赤道最長；緯度愈高，緯線越短；極地的緯線長度為零。第二，在同一條緯線上，經差相同的緯線弧長相等。第三，所有的經線長度都相等。在同一條經線上，緯差相同的經線弧長相等（在地球橢球麵上，緯差相同的經線弧長雖不完全相等，但相差很小）。
地圖上經緯線長度是怎樣的呢？各條緯線長度相等，各條經線長度也相等。這說明各條緯線不是按照同一比例縮小的，而經線卻是按照同一比例縮小的。同一條緯線上經差相同的緯線弧長不等，從中央向兩邊逐漸縮小。各條經線長度不等，中央的一條經線最短，從中央向兩邊經線逐漸增大。這個圖形表明，在同一條緯線上由於經度位置的不同，比例發生了變化，從中央向兩邊比例逐漸縮小，各條經線也不是按照同一比例縮小，但它們的變化卻是從中央向兩邊比例逐漸增大。
根據上述可知，地圖上的經緯線長度與地球儀上經緯線長度特點並不完全相同。地圖上經緯線長度並非都是按照同一比例縮小的，這表明地圖上具有長度變形。長度變形的情況因投影而異。在同一投影上，長度變形不僅隨地點而改變，在同一點上還因方向不同而不同。
麵積變形地球儀上經緯線網格的麵積具有下述特點。第一，在同一緯度帶內，經差相同的網格麵積相等。第二，在同一經度帶內，緯度愈高，網格麵積愈小。然而地圖上卻並非完全如此。同一經度帶內，緯差相等的網格麵積相等，這表明麵積不是按照同一比例縮小的。緯度愈高，麵積比例愈大。同一緯度帶內，經差相同的網格麵積不等，這表明麵積比例隨經度的變化而變化了。
由於地圖上經緯線網格麵積與地球儀上經緯線網格麵積的特點不同，在地圖上經緯線網格麵積不是按照同一比例縮小的，這表明地圖上具有麵積變形。麵積變形的情況因投影而異。在同一投影上，麵積變形因地點的不同而不同。
角度變形角度變形是指地圖上兩條線所夾的角度不等於球麵上相應的角度。隻有中央經線和各緯線相交成直角，其餘的經線和緯線均不呈直角相交，而在地球儀上經線和緯線處處都呈直角相交，這表明地圖上有了角度變形。角度變形的情況因投影而異。在同一投影圖上，角度變形因地點而變。
（二）變形橢圓
地圖投影的變形，隨地點的改變而改變，因此在一幅地圖上，就很難籠統地說它有什麼變形，變形有多大。為此必須取地麵上一個微小部分，來研究它投影到平麵上之後是怎樣變化的。現取一個微小圓（由於其微小，可忽略曲麵的影響，把它當作平麵看待），通過下列試驗進行分析。
用鐵絲做一個按一定比例尺縮小的北（或南）半球經緯線網模型，在模型的極點和同一條經線上放置幾個不透明的小圓，使極點與投影平麵相切。在模型的圓心處放一盞燈，經燈光照射後，在投影平麵上就有了經緯線網格。模型上的小圓投影到平麵上之後，除了極點處的小圓沒有變形（與模型上的小圓相同）外，其餘的都變成了橢圓。橢圓的長軸和短軸都比小圓的直徑長。如果把燈沿著與投影平麵垂直的方向遠移，則橢圓逐漸變小，長軸與短軸的差異也逐漸縮小。當燈移至與投影平麵的距離等於模型的直徑（即移到了另一個極點位置）時，模型上小圓的投影變成了圓，但是這些圓的直徑都比小圓的直徑長。如果把燈繼續遠移，投影平麵上的小圓又變成了橢圓。在試驗過程中可以明顯地看出，無論燈光在什麼位置，半球模型與投影平麵相切處的小圓都沒有變形。從切點向四周，小圓的變形逐漸增大，有的方向逐漸伸地球麵上的微小圓投影在平麵上為微小橢圓長，有的方向逐漸縮短。
現在我們來證明球麵上一個微小圓，投影到平麵上之後是個橢圓。以經緯線為直角坐標軸X、Y，圓上任一點M的坐標為x=MJ，y=MK。在投影平麵上，A’B’為AB的投影，C’D’為CD的投影，M’為M的投影。由於投影一般有角度變形，A’B’與C’D’不一定直交，故A’B’、C’D’為斜坐標軸係。令其軸為X’、Y’，則M’的坐標為x’=M’J’，y’=M’K’。由此可以得出
m為經線長度比；n為緯線長度比。
設在地麵上所取的微小圓半徑為1，則M點的圓方程為
在投影平麵上M’點繞O’點運動的軌跡，顯然就是（2-2）式所表示的圓的投影。將（2-1）代入（2-2）得
這個方程式代表一個以O’為原點，以相交成θ角的兩共軛直徑為坐標軸的橢圓方程式。這就證明了地球麵上的微小圓，投影後為橢圓（一般為橢圓，特殊情況下為圓）。這種橢圓可以用來表示投影的變形，故叫做變形橢圓。
在研究投影時，可以借助變形橢圓與微小圓進行比較，來說明變形的性質和數量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長度變形。很明顯地看出長度變形是隨方向的變化而變化，其中有一個極大值——橢圓長軸方向，一個極小值——橢圓短軸方向。這兩個方向是互相垂直的，稱為主方向。橢圓麵積與小圓麵積之比，可以說明麵積變形。橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應的兩方向線夾角之差為角度變形。
（三）長度比和長度變形
長度比就是投影麵上一微小線段（變形橢圓半徑）和球麵上相應微小線段（球麵上微小圓半徑，已按規定的比例縮小）之比。設以ds表示球麵上微小線段，以ds’表示投影在平麵上的微小線段，以μ表示長度比，則
長度比是一個變量，它不僅隨著點的位置不同而變化，而且在同一地點，它還隨方向的變化而變化。
這裏需要說明的是，長度比與地圖比例尺不同。地圖比例尺是運用地圖投影方法繪製經緯線網時，首先把地球橢球體按規定的比例尺縮小，然後才能把它表示在平麵上。這個比例尺稱為主比例尺，即一般地圖上所注明的比例尺。但是由於投影時有變形，主比例尺僅能被保持在某些地方，其餘地方或是大於或是小於這個比例尺。
在某點上，長度比隨方向的變化而變化，通常在研究長度比時，不一一研究各個方向的長度比，而隻研究其中一些特定方向的長度比，即研究最大長度比（a）和最小長度比（b），經線長度比（m）和緯線長度比（n）。投影後經緯線呈直交者，經緯線長度比就是最大和最小長度比。投影後經緯線不直交，其夾角為θ，則經緯線長度比m、n和最大、最小長度比a、b之間具有下列關係：
用長度比可以說明長度變形。所謂長度變形就是（ds’-ds）與ds之比。以Vμ表示長度變形，則
由上式可知，長度變形就是長度比與1之差。長度比是一個相對數量，隻有大於1或小於1的數（個別地方等於1），沒有負數。而長度變形則有正有負。長度變形為正，表示投影後長度增長；長度變形為負，表示投影後長度縮短。
（四）麵積比和麵積變形
麵積比就是投影平麵上微小麵積（變形橢圓麵積）dF’與球麵上相應的微小麵積（微小圓麵積）dF之比。球麵上微小圓麵積dF=π12，投影平麵上變形橢圓麵積dF’=πab，以P表示麵積比，則
或P=mnsinθ（2-7）
麵積比是個變量，它隨著點的位置不同而變化。
用麵積比可以說明麵積變形。所謂麵積變形就是（dF’-dF）與dF之比，以Vp表示麵積變形，則
由上式可知，麵積變形就是麵積比與1之差。麵積比也是個相對數量，隻有大於1或小於1的數，沒有負數。麵積變形則有正有負，麵積變形為正，表示投影後麵積增大；麵積變形為負，表示投影後麵積縮小。
（五）角度變形
投影麵上任意兩方向線所夾之角與球麵上相應的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。過一點，可以做許多方向線，每兩條方向線均可組成一個角度，這些角度投影到平麵上之後，往往與原來的大小不一樣，而且不同的方向線所組成的角度產生的變形一般也是不一樣的。通常在研究角度變形時，不一一研究每一個角度的變形數量，而隻研究其角度的最大變形。
X’、Y’軸的方向係表示主方向的投影，故其是正交的。圖上任一方向線OA與主方向線的夾角為a，投影到平麵上後，OA投影為O’A’，O’A’與X’軸的夾角為a’。設A點的坐標為（x、y），A’點的坐標為（x’、y’），則
將上式兩邊各減和加tgα以推演得出：
在上式中，顯然當（a+a’）=90°時，sin（α-α’）的值為最大，即a-a’為最大。以a0-a’0代表最大值，則
上式表明的是一條方向線OA與主方向OX的夾角變形情況，即方向變形。可以設想在相鄰象限內，一定有一個方向線OB與主方向OX的夾角也是a，投影之後變為a’。在微小圓上OA與OB的夾角為u，投影後O’A’與O’B’的夾角為u’，則由圖上可以看出
u’-u=（180°-2a’）-（180°-2a）=2（a-a’）
因為我們要研究角度最大變形，所以用a0和a’0代替a和a’，以ω代表u’-u的最大值，則
若已知經線長度比m、緯線長度比n和經緯線夾角θ，則角度最大變形公式為：
三、地圖投影的分類
地圖投影的種類很多，為了學習和研究的方便，應對其進行分類。由於分類的標誌不同，分類方法就不同。從使用地圖的角度出發，需要了解下述兩種分類。
（一）按變形性質分類
按變形性質地圖投影可以分為三類：等角投影、等積投影和任意投影。
1.等角投影投影麵上某點的任意兩方向線夾角與橢球麵上相應兩線段夾角相等，即角度變形為零。為了保持等角條件，必須使ω=0，按公式（2-9）得a=b（或θ=90°，m=n），即最大長度比等於最小長度比。因此在這種投影上，變形橢圓不是橢圓，而是圓。在小區域內，投影後的圖形與實地是相似的，故這類投影又叫正形投影。等角投影在一點上任何方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的，即不同地點上的變形橢圓大小不同，因此從大範圍來講，投影後的圖形與實地並不相似。
由於這類投影沒有角度變形，所以多用於編製航海圖、洋流圖和風向圖等。
2.等積投影在投影平麵上任意一塊麵積與橢球麵上相應的麵積相等，即麵積變形等於零。為了保持等積條件，必須使P=1。按公式（2-6）可得
的不同點上，變形橢圓的長軸不斷伸長，短軸不斷縮短，形狀變化較大，角度變形比別的投影亦大。
由於這類投影可以保持麵積沒有變形，故有利於在地圖上進行麵積對比。一般常用於繪製對麵積精度要求較高的自然地圖和經濟地圖。
3.任意投影在這種投影圖上，長度、麵積和角度都有變形，它既不等角又不等積。
任意投影中，有一種比較常見的等距投影。在這種投影圖上並不是不存在長度變形，它隻是在特定方向上沒有長度變形。等距投影的麵積變形小於等角投影，角度變形小於等積投影。
任意投影多用於要求麵積變形不大、角度變形也不大的地圖，如一般參考用圖和教學地圖。
在等角投影中，橢球麵上的小圓投影為大小不同的圓，在等積和任意投影中，橢球麵上的小圓投影為大小不同的橢圓。通過對這些圖形的分析，可以看出，經過投影後地圖上所產生的長度變形、麵積變形和角度變形，是相互聯係相互影響的。它們之間的關係是：
（1）在等積投影上不能保持等角特性，在等角投影上不能保持等積特性。
（2）在任意投影上不能保持等角和等積的特性
（3）等積投影的形狀變形比較大，等角投影的麵積變形比較大。
（二）按構成方法分類
地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球麵直接透視到平麵上，或透視到可展開的曲麵上，如圓柱麵和圓錐麵。圓柱麵和圓錐麵雖然不是平麵，但可以展為平麵。這樣就得到具有幾何意義的方位、圓柱和圓錐投影。隨著科學的發展，為了使地圖上變形盡量減小，或者為了使地圖滿足某些特定要求，地圖投影就逐漸跳出了原來借助於幾何麵構成投影的框子，而產生了一係列按照數學條件構成的投影。因此，按照構成方法，可以把地圖投影分為兩大類：幾何投影和非幾何投影。
1.幾何投影幾何投影是把橢球麵上的經緯線網投影到幾何麵上，然後將幾何麵展為平麵而得到的。根據幾何麵的形狀，可以進一步分為下述幾類：
（1）方位投影以平麵作為投影麵，使平麵與球麵相切或相割，將球麵上的經緯線投影到平麵上而成。
（2）圓柱投影以圓柱麵作為投影麵，使圓柱麵與球麵相切或相割，將球麵上的經緯線投影到圓柱麵上，然後將圓柱麵展為平麵而成。
（3）圓錐投影以圓錐麵作為投影麵，使圓錐麵與球麵相切或相割，將球麵上的經緯線投影到圓錐麵上，然後將圓錐麵展為平麵而成。
在上述投影中，由於幾何麵與球麵的關係位置不同，又分為正軸、橫軸和斜軸投影。正軸方位投影，投影平麵與地軸垂直；橫軸方位投影，投影平麵與地軸平行；斜軸方位投影，投影平麵與地軸斜交。正軸圓柱投影和正軸圓錐投影，圓柱和圓錐的軸與地軸重合；橫軸圓柱投影和橫軸圓錐投影，圓柱和圓錐的軸與地軸垂直；斜軸圓柱投影和斜軸圓錐投影，圓柱和圓錐的軸與地軸斜交。
正軸投影的經緯線形狀比較簡單，稱為標準網。正軸方位投影，緯線為同心圓，經線為同心圓的半徑，經線間的夾角等於相應的經度差。正軸圓柱投影，緯線為一組平行直線，經線為與緯線垂直、且間隔相等的平行直線。正軸圓錐投影，緯線為同心圓弧，經線為同心圓弧的半徑，經線間的夾角與相應的經差成正比。
2.非幾何投影不借助於幾何麵，根據某些條件用數學解析法確定球麵與平麵之間點與點的函數關係。在這類投影中，一般按經緯線形狀又分為下述幾類：
（1）偽方位投影緯線為同心圓，中央經線為直線，其餘圖的經線均為對稱於中央經線的曲線，且相交於緯線的共同圓心。
（2）偽圓柱投影緯線為平行直線，中央經線為直線，其餘的經線均為對稱於中央經線的曲線。
（3）偽圓錐投影緯線為同心圓弧，中央經線為直線，其餘經線均為對稱於中央經線的曲線。
（4）多圓錐投影緯線為同軸圓弧，其圓心均位於中央經線上，中央經線為直線，其餘的經線均為對稱於中央經線的曲線。
根據上述可知，按不同方法構成的投影，其經緯線網形狀不同。經緯線網形狀的變化，反映的是變形分布情況的差異，為了使地圖上盡量減少變形，通常按照製圖區域的範圍、所在的地理位置及輪廓形狀選用不同的投影方法。
方位投影
一、方位投影的概念和種類
（一）方位投影構成的一般公式
方位投影是以平麵作為投影麵，使平麵與地球表麵相切或相割，將地球表麵上的經緯線投地影到平麵上所得到的圖形（下麵隻介紹比較常用的切方位投影。為了方便起見，將地球視作半徑為R的球體）。由於球麵與投影平麵相切位置的不同，分為正軸（切於地球極點，設以0表示切點的緯度，0=90°）、橫軸（切於赤道，0=0°）和斜軸（切點既不在地球極點，也不在赤道上，即0°＜0＜90°）投影。
正軸方位投影，經線為從一點向外放射的直線束，夾角相等，而且等於相應的經度差；緯線是以經線的交點為圓心的同心圓。橫軸方位投影，除經過切點的經線和赤道投影為互相垂直的直線外，其餘的經緯線均為曲線。斜軸方位投影，除經過切點的經線投影為直線外，其餘的經緯線均為曲線。
在正軸投影中，因為經線和緯線互相直交，所以經緯線方向和主方向一致。在橫軸和斜軸投影中，一般講經緯線方向不互相直交，因此經緯線方向不是主方向。那麼什麼方向是其主方向呢？為此，需要介紹一種球麵坐標係。
地理坐標係是球麵坐標係的一種，它是以地軸為極軸。
球麵坐標係中的垂直圈和等高圈相當於地理坐標係中的經線圈和緯線圈，故在方位投影中，若使投影平麵切於球麵坐標係的極點上，則類似正軸方位投影那樣，垂直圈投影為從一點向外放射的直線束，夾角相等，而且等於相應的方位角之差；等高圈投影為以垂直圈的交點為圓心的同心圓。因此，在橫軸和斜軸方位投影上，垂直圈與等高圈互相垂直，垂直圈與等高圈的方向與主方向一致。
地理坐標係中一點的經度和緯度是由大地測量方法推算出來的。而在球麵坐標係中該點的天頂距和方位角是不知道的。故在橫軸和斜軸方位投影中，采用球麵坐標係，必須將一點的地理坐標（，λ）換算成該點的球麵坐標（Z，Ψ），才能進行點的平麵極坐標或平麵直角坐標的計算。設球麵坐標極P的地理坐標為0λ0，A點的地理坐標為（，λ），其球麵坐標為Z，Ψ，則由球麵三角形NAP，可以求出它們的關係式為：
cosZ=sinsin0+coscos0cos（λ-λ0）
ctgΨ=tgcos0csc（λ-λ0）-sin0ctg（λ-λ0）
將正軸、橫軸和斜軸方位投影加以比較，不難看出，正軸和橫軸不過是斜軸中的特殊情況。因此，隻要研究斜軸方位投影，就自然可以了解正軸和橫軸投影了。
設地球與投影平麵切於P，P為球麵坐標極，A為球麵上任意點，PA為垂直圈。球麵上點A投影在平麵上為A’，PA投影為P’A’。PA與PN的夾角為Ψ，其投影為δ。前麵已經講過，δ與Ψ是相等的，即δ=ψ。設P’A’=ρ，ρ的長短隨A點到P的大圓弧距Z的變化而變化，故ρ是Z的函數，即ρ=f（Z）。因此，方位投影的極坐標公式可寫為：
如用平麵直角坐標表示，則為
根據上述可知，方位投影主要是決定ρ的函數形式問題。由於決定ρ函數形式的方法不同，方位投影有很多種。
球麵坐標極的位置可根據製圖區域的情況選擇。如果球麵坐標極與地理極重合，則為正軸方位投影，δ=λ，Z=90°-，等高圈與緯圈重合，垂直圈與經線重合。若球麵坐標極位於赤道上，則為橫軸方位投影。
關於Z和ψ，可按前麵所提到的由地理坐標換算為球麵坐標的公式來決定。
（二）方位投影的變形分布規律
如圖2-19，設A’B’C’D’為球麵上A、B、C、D的投影，垂直圈PA與PD的夾角為dψ，弧PB=z，在投影平麵上∠A’P’D’=dδ，P’B’=ρ，若以μ1示垂直圈的長度比，以μ2示等高圈的長度比，由長度比的定義，得
但A’B’=dρ，B’C’=ρdδ，AB和BC為球麵上的弧長，由圖2-20可以看出
由於垂直圈和等高圈投影後成正交，故其長度比μ1、μ2為最大、最小長度比，因而麵積比和角度最大變形公式為：
從公式（2-12）至（2-15）可以看出，方位投影的變形公式都是z的函數，如果z不變，則變切方位投影等變形線分布形值不變。這就是說，在同一等高圈上各點的各種變形數值均各自相等，等變形線（變形值相等的各點連線）是與等高圈一致的同心圓。
同心圓是等變形線，箭頭所指方向為變形增加的方向。投影中心是沒有變形的點，從投影中心向四周變形逐漸增大。
方位投影的中心，也就是投影平麵與地球相切的點，沒有變形；過投影中心球麵上的大圓弧投影為直線，而且從中心到任何點的方位角沒有變形。因此，這種投影被稱為方位投影。
由於製圖時，總是希望地圖上變形盡可能的小，而且分布比較均勻，所以一般要求等變形線最好與製圖區域輪廓一致。據此，方位投影適合製作圓形區域的地圖。從區域所在的地理位置來說，兩極地區宜采用正軸方位投影；赤道附近地區宜采用橫軸方位投影；其他地區則采用斜軸方位投影。