構造函數f(x)=kx+b解題
函數f(x)=kx+b沒有k≠0的限製就不能斷言它是一個函數數，但該函數具有一次函數的形式，筆者在教學上稱它為“形式一次函數”。
用函數觀點解題是大家所熟知的，但具體使用函數f(x)=kx+b性質的卻不多見。事實上，恰當地構造函數f(x)=kx+b解題也同樣具有事半功倍之效。
1·證明不等式
例1已知-1〈a，b，c〈1，求證：abc〉a+b+c-2。
證構造函數
f(a)=(bc-1)a+2-b-c。
由條件知bc-1〈0，∴f(a)在區間［-1，1］上單調遞減，而f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)〉0，故當a∈(-1，1)時恒有f(a)〉0，即abc〉a+b+c-2。
例2已知｜a｜〈1，｜b｜〈1，求證：｜a+b1+ab｜〈1。(高中教材例題)
證令c=a+b1+abk,即(1+ab)c-(a+b)=0·構造函數
f(x)=(1+ab)x-(a+b)，
顯然f(c)=0。
∵f(-1)=-(1+a)(1+b)〈0，f(1)=(1-a)(1-b)〉0，
∴一次函數f(x)的零點c∈(-1，1)，即｜c｜〈1，從而a+b1+ab〈1。
例3設正常數a，b，c，A，B，C滿足條件a+A=b+B=c+C=k，求證：aB+bC+cA〈k2。(第21屆全蘇奧林匹克試題)
證由條件式，得
aB+bC+cA=a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)
=(k-b-c)a+b(k-c)+ck。
構造函數
f(a)=(k-b-c)a+b(k-c)+ck，
∵0〈a〈k，k〉b〉0，k〉c〉0，
∴f(0)=b(k-c)+ck=-(k-b)(k-c)+k2〈k2，
f(k)=(k-b-c)k+b(k-c)+ck
k2-bc〈k2，
於是在區間(0,k)上恒有f(a)〈k2，從而aB+bC+cA〈k2。
2·求一類參數範圍
例4對於滿足｜p｜≤2的所有實數p，求使不等式2x-1〉p(x2-1)恒成立的x的取值範圍。
本題在有關雜誌上已介紹多種解法，下麵通過構造形式一次函數的解法更妙。
解原不等式即(1-x2)p+2x-1〉0。構造函數f(p)=(1-x2)p+2x-1，則f(p)〉0在區間［-2，2］上恒成立的充要條件是
f(-2)=2(x2-1)+2x-1〉0，
f(2)=2(1-x2)+2x-1〉0。
7-12〈x〈1+32。
例5若｜p｜〈2，p∈R，不等式
(log2x)2+plog2x+1〉2log2x+p(*)恒成立，求x的取值範圍。(91年長春模擬試題)
解(*)式即(log2x-1)p+(log2x-1)2〉0。
構造函數f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2，由f(p)〉0在區間(-2，2)上恒成立，得
f(-2)=2(1-log2x)+(log2x-1)2≥0，
f(2)=2(log2x-1)+(log2x-1)2≥0。
log2x≥3或log2x≤-1x≥8或0〈x≤12。