數學學習方法指導(二)(學生學習方法指導叢書)-解題中注意挖掘隱含條件

解題中注意挖掘隱含條件

深刻理解題設條件，是正確解題不可缺少的一環。有些已知條件你可“一覽無餘”，有的則很含蓄隱晦，不易被發現，你若在這“殘缺”條件下作出結論，勢必得出錯誤結論。因此，解題時應注意咬文嚼字，力求挖掘出隱含條件並巧妙利用它，達到正確解題的目的。現舉幾例予以說明。

例1若cosα,sinα是二次方程x2-ax+a=0的兩實根，則實數a=。

(A)1(B)2

錯解：由韋達定理可得

sinα+cosα=a

sinα·cosα=a

消去α得a2=1+2a解得 a=1±2。

錯因剖析：韋達定理不能代替根的判別式，事實上，為保證原方程有實根，還需Δ≥0，即

a=1±2

Δ=a(a-4)≥0a=1-2，從而選(D)。

顯然“…方程的兩實根”中隱含“Δ≥0”這一條件。

例2已知集合A=｛x｜10+3x-x2≥0｝，B=｛x｜m+1≤x≤2m-1｝，當m取什麼實數時，A∩B=Ф成立?

錯解：由已知得A=［-2，5］，B=｛x｜1+m≤x≤2m-1｝。為使A∩B=Ф，須使m+1>5或2m-1<-2，從而可得m<-12或m>4①

錯因剖析：B≠Ф時結果如上；當B=Ф時，A∩B=Ф，此時m+1>2m-1m<2②

由①②知：m<2或m>4。

“A∩B=Ф”隱含“B可為空集”這一條件。

例3在△ABC中已知sinA=35，cosB=513，求cosC的值。

錯解：在△ABC中，∵cosB=513>0∴B為銳角。

i)當A為銳角時，易知cosA=45

cosC=1665。

ii)當A為鈍角時，易知cosA=-45cosC=5665。由i)ii)知cosC=1665或cosC=5665

錯因剖析：實際上，由cosB=513<1260°135°時，A+B>180°與三角形內角和矛盾，故舍ii)，應取cosC=1656。

“在△ABC中，sinA=35,cosB=513”隱含A、B均為銳角。

例4若arcsinx=2arccos35則x=