古印度數學的傳說
數學是最集中、最深刻、最典型地反映了人類理性和邏輯思維所能達到的高度，所以，11世紀大數學家、物理學家和天文學家高斯說：“數學是科學之王。”
話說在印度舍罕王時代，舍罕王發出命令：誰能發明一件讓人娛樂，又要在娛樂中使人增長知識，使人頭腦變得更加聰明的東西，本王就讓他終身為官，並且皇宮中的貴重物品任其挑選。
於是乎，全國上下能工巧匠紛紛而動，發明創造的一件又一件東西被送到舍罕王的麵前，但是沒有一件讓他滿意。
這是一個風和日麗的早晨，舍罕王閑著無聊，便和眾愛卿準備到格拉察湖去釣魚。舍罕王忽然發現宰相西薩·班·達依爾沒有同來，便問道：“宰相幹什麼去了？”
“宰相因宮中有一件事未處理好，正在那裏琢磨呢。”一個大臣答道。
舍罕王沒有追問下去，便拿起魚竿釣起魚來，眾愛卿均忙乎著，於是，一枝枝長竿便同指湖心。
這時，小湖起著微微的漣漪，湖麵在陽光照射下，閃爍出金剛鑽、綠寶石般的光芒，耀得人直眨眼。垂柳的枝條沐浴在湖水之中，湖岸邊長滿了菖蒲。
不一會兒，薄雲遮住了太陽，太陽仿佛驟然扭過臉去，不理睬小湖，於是湖泊、村莊和樹林全都在刹那間黯淡下來；浮雲一過，湖水便又閃閃發光，莊稼簡直像鍍上一層黃金。
舍罕王貪婪地吸著這鄉野的新鮮空氣，眼前的美景使他目不暇接，連魚竿都橫躺在湖麵上了。正在這時，有人來報：宰相達依爾飛馬來到。
達依爾匆匆下馬，來到舍罕王的麵前，稟道：“陛下，為臣在家中琢磨了許多天，終於發明了象棋，不知大王滿意否？”
舍罕王一聽此言，連忙說道：“什麼象棋，趕快拿來看看。”
原來這位宰相有著超人的智慧和聰明的頭腦，尤其喜愛發明創造以及嚴密的數學推理。他發明的象棋是國際象棋，整個棋盤是由64個小方格組成的正方形。
國際象棋共32個棋子，每方各16個，它包括王一枚、王後一枚、仕兩枚、馬兩枚、車兩枚、卒八枚。雙方的棋子在格內移動，以消滅對方的王為勝。
舍罕王看到此物後，喜不勝收，連忙招呼其他大臣與他對弈，一時間，馬騰蹄、卒拱動，車急馳，不一會，舍罕王大勝。
舍罕王於是打算重賞自己的宰相，便說道：“官不能再封了，你已做到頂了，如再要封，恐怕隻有我讓位了。現在重賞你財物，你要些什麼？”
宰相“撲通”跪在國王麵前說：“陛下，為臣別無他求，隻請您在這張棋盤的第一個小格內，賞給我一粒麥子，在第二個小格內給二粒，第三格內給四粒，第四格內給八粒。總之，每一格內都比前一格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給我，我就心滿意足了。”
看來，這位聰明的宰相胃口並不大，於是國王說道：“愛卿，你所求的並不多啊，你當然會如願以償的。”
國王心裏為自己對這樣一件奇妙的發明，所許下的慷慨賞諾不致破費太多而暗喜。便令人把一袋麥子拿到寶座前。
計數麥粒的工作開始。第一格放一粒，第二格兩粒……，還不到第20格，袋子已經空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王麵前。
但是，麥粒數一格接一格地增長得那樣迅速，開始是人扛，後來是馬車拉，再後來，幹脆一個糧庫也填不滿一個小格。很快就可以看出，即便拿來全印度的糧食，國王也兌現不了他對宰相許下的諾言了。
這到底是怎麼回事，讓我們來算一算這位宰相到底要多少麥粒：
1+2+22+23+24+……+262+263
上麵這個算式就是宰相所需要的麥粒，讓我們用現代的數學方法算出其結果，即：
這個數字不像宇宙間的原子總數那樣大，不過也已經夠可觀的。1蒲式爾（約35.2升）小麥約有500萬顆，照這個數，那就得給宰相拿來四萬億蒲式爾才行。
這位宰相所要求的，竟是全世界在2000年內所生產的全部小麥！
這樣一來，舍罕王覺得自己金言一出，又不能兌現，怎麼辦？一大臣獻計，找個原因殺他的頭。宰相西薩·班·達依爾的頭就這樣被獻上數學的祭壇。
上麵這個故事可能是前人所編，隻是傳說。但它說明一個問題，就是說古印度在數學科學方麵，已有相當大的成就。
中國古代的數學
中國古代從“結繩記事”時起，就有了初步的數學。古代甲骨文、金文中就有了記數的符號。如有“1”、“11”、“+”等記數法，這些記號可從出土的彩陶上得到證實。
中國古代的進位製主要是十進位。無論是進位製還是長度都與古人的生理結構直接有關，如人的手指、腳趾都是十個等。
中國古代對“幾何學”的認識也非常早，如他們使用的石器、骨器、陶器以及住宅、墳墓等，都具有一定的幾何形狀。
中國古代原始社會晚期對數和形的初步認識，以及他們製做各種形狀並有一定比例的用具時，就出現了初等數學的萌芽。
到了夏、商、周時期，我國的記數方式以十進位的方式從一記到萬。如用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬等的組合來記十萬以內的自然數。
在這一時期，商代的數學係統比古巴比倫、古埃及同時代更先進、更科學。
大約在西周時期，出現了一種十分重要的計算方法——籌算。籌算是用算籌來進行的。算籌是圓形竹棍，直徑約0.2厘米，長約14厘米，以271根為一“握”。
在這一時期，還出現了簡單的四則運算，這在數學史上，應該說是一件非常了不起的事情，是一個創舉。
而春秋戰國時期數學的進步主要表現在四則運算的完善和計算工具的進步方麵。如在出土的戰國楚墓裏，有一個竹筒，內裝毛筆、銅削、天平、砝碼、算籌等。
總之，當時在數學上既有工具，又有符號，還有部分口訣，如把這些成就和其他地區比較，可以明顯看出是處於先進地位。
到了秦漢時期，我國的數學科學有了重大進步，這表現在許多數學專著的出現。這一時期，有我國最早的天文數學專著《周髀算經》、《九章算術》等。
在《周髀算經》中，有一段被尊為古代聖人的周公同一個名叫商高的數學家的對話，在對話中就提到了勾股弦定理，也即畢達哥拉斯定理。
這個定理，就是“直角三角形斜邊平方等於兩個直角邊平方之和”，這個定理在中國也被稱作是“商高定理”。
下麵簡要介紹商高定理部分，周公和商高的部分對話：
周公：“我聽說你很精通數的藝術。可否請您談談古人是怎樣測定天球度數的？沒有一種梯子可以使人攀登上天，地也無法用尺來測量。這些數據從何而來？”
商高：“數的藝術從圓形和方形開始，圓形出自方形，而方形又出自矩形，矩形出自9×9=81這個事實。
“假如把矩形的對角線切開，讓寬等於3個單位長，長等於4個單位，那麼對角線的長度就是5個單位。古代大禹用來治理天下的方形，就是從這些數字中發展出來的。”
周公感歎地說：“數學這門藝術真是了不起啊！我想再請教怎樣應用直角三角尺？”
商高：“使直角三角尺平臥在地上，可以用繩子設計出平直的和方形的工程。把直角三角尺豎立起來，可以測量高度。倒立的直角三角尺可以用來測量深淺，而平放著就可以測量距離。讓它旋轉，就可以畫圓；把幾個合起來，就可以得到正方形和長方形。”
周公：“這真是太奇妙了！”
《周髀算經》的偉大不僅僅在於對數學知識的闡述，更重要的是在占星術和卜筮占支配地位時，他們在討論天地現象時，卻絲毫不帶有迷信色彩！
這部數學專著還談到日影、不同緯度上日影的長度差、用窺管測量太陽直徑等等，還列出了一年中各個節氣的日影長度表。
《九章算術》
和《周髀算經》幾乎同時，還有一部數學專著，科學史上稱它為《九章算術》，這是我國第一部最重要的數學專著。
《九章算術》大約成書於東漢初年，書中載有246個應用題目的解法，涉及到算術、初等代數、初等幾何等多方麵內容。
其中所載述的分數四則運算、比例算法、用勾股定理解決一些測量中的問題等，都是當時世界最高科學水平的工作。而關於負數的概念和正負數加減法則的記載，也是世界數學科學史中最早的。
書中還講述了開平方、開立方、一元二次方程的數值解法、聯立一次方程解法等許多問題。《九章算術》在我國古代數學史上有很大影響，在世界數學史上也占有重要地位。
《九章算術》大致可分為9個方麵內容：
（1）土地測量。書中列有直角三角形、梯形、三角形、圓、弧與環形等，並給出計算這些形狀麵積的方法。
（2）百分法和比例，根據比例關係來求問題答案。
（3）算術級數和幾何級數。
（4）處理當圖形麵積及一邊長度已知時，求其他邊長的問題。還有求平方根、立方根等問題。
（5）立體圖形體積的測量和計算，實際計算的有牆、城牆、堤防、水道和河流等。
（6）解決征收稅收中的數學問題。像人們從產地運送穀物到京城交稅所需的時間等有關問題，還有按人口征稅的問題。
（7）過剩與不足的問題。也就是解決ax+b=0的問題。
（8）解方程和不定方程。
（9）直角三角形的性質。
在“直角三角形的性質”這一章中，有這樣一個問題：
一個水池，長寬各一丈，有棵蘆葦生在池中央，蘆葦出水麵一尺高，讓蘆葦倒向池邊，正好蘆葦尖與池邊平齊。問水有多深？
這個問題後來又見於印度的數學著作中，又傳到了中世紀的歐洲。解決此問題隻有利用相似直角三角形來完成。
《九章算術》對中國古代數學發生的影響，正像古希臘歐幾裏得《幾何原本》對西方數學所產生的影響一樣，是非常深刻的。
在此後的一千多年的時間裏，它一直被直接作為教科書使用。日本、朝鮮也都曾用它作教科書。各代學者都十分重視對這部算書的研究，在歐洲和阿拉伯的早期數學著作中，過剩與不足問題的算法，就被稱為“中國算法”，可見其獨創性。
我國古代傑出的數學家
到了三國兩晉南北朝時代，我國的數學科學已閃爍著耀眼的光芒，出現了曆史上傑出的數學家劉徽和祖衝之。這兩個不朽的人物為我國數學奠定了牢固的基礎。
先說劉徽，他是三國時代魏國人。關於他的身世和生平事跡，由於資料有限，我們了解得很少。他的活動區域大致在山東半島和江蘇北部一帶。
劉徽自幼熟讀《九章算術》，在魏陳留王景元四年（263）前後，為我國古代數學經典著作《九章算術》作注，做了許多創造性的數學理論工作，對我國古代數學體係的形成和發展影響很大，在數學史上占有突出的地位。
《九章算術》體現了中國古代自先秦到東漢以來的數學成就。但當時沒有發明印書的方法，這樣好的書也隻能靠筆來抄寫。
在輾轉傳抄的過程中，難免會出現很多的錯誤，加上原書中是以問題集的形式編成，文字過於簡單，對解法的理論也沒有科學的說明。這種狀況明顯地妨礙了數學科學的進一步發展。
劉徽為《九章算術》作注，在很大程度上彌補了這個重大的缺陷。在《九章算術注》中，他精辟地闡明了各種解題方法的道理，提出了簡要的證明，指出個別解法的錯誤。
尤其可貴的是，他還做了許多創造性的工作，提出了不少遠遠超過原著的新理論。可以說，劉徽的數學理論工作為建立具有獨特風格的我國古代數學科學的理論體係，打下了堅實的基礎。
劉徽在《九章算術注》中，最主要的貢獻是創立了“割圓術”，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法，開創了圓周率研究的新階段。
圓周率即圓的周長和直徑的比率，它是數學上的一個重要的數據，因此，推算出它的準確數值，在理論上和實踐上都有重要的意義和貢獻。
在世界數學史上，許多國家的數學家都曾經把圓周率作為重要研究課題，為求出它的精確數值作了很大努力。在某種意義上說，一個國家曆史上圓周率精確數值的準確程度，可以衡量這個國家數學的發展情況。
《九章算術》原著中，沿用自古以來的數據，即所謂“徑一周三”取π=3，這是很不精確的。到了後來，三國時期的王蕃（230～266）采用了3.1566，這雖然比“徑一周三”有了進步，但仍不夠精密，而且也沒有理論根據。
怎樣才能算出比較精密的圓周率呢？劉徽苦苦地思索著。
一天，劉徽信步走出門去，去大自然呼吸新鮮的空氣。在他的眼前，群山綿綿不斷地伸展開去，好像數學哲理似的奧妙莫測。
劉徽的思路仿佛進人群山的巍峨中，鑒證著大自然的不可思議的創造。劉徽抬眼望去，遠處一個高聳入雲的頂峰上，有一座小小的廟宇，他猜測著，數學的殿堂是不是也和這廟宇一樣，風光而又曲折。
一陣叮叮當當的響聲引起了劉徽的注意，他朝著響聲走去，原來這是座石料加工場。這裏的石匠師傅們正把方形的石頭打鑿成圓柱形的柱子。
劉徽頗感有趣，蹲在石匠師傅的身邊認真地觀看著。隻見一塊方石，經石匠師傅砍去四角，就變成一塊八角形的石頭，再去掉八角又變成十六角形，這樣一鑿一斧的幹下去，一方形石料加工成光滑的圓柱了。
劉徽恍然大悟，馬上跑回家去，認真地在地上比劃著，原來方和圓是可以互相轉化的。
他把一個圓周分成相等的6段，連接這些分點組成圓內正六邊形，再將每一分弧二等分，又可得到圓內接正12邊形，如此無窮盡地分割下去，就可得到一個與圓完全相合的正“多邊形”。
劉徽由此指出：圓內接正多邊形的麵積小於圓麵積，但“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體，而無所失矣。”
這段話包含有初步的極限思想，思路非常明晰，為我國古代的圓周率計算確立了理論基礎。
綜合上麵的論述，劉徽實際上建立了下麵的不等式：
S2n＜S＜S2n+（S2n-Sn）
這裏S是圓麵積，S2n、Sn是圓內接正多邊形的麵積，n是邊數。
劉徽使用了這個方法，從圓內接正6邊形算起，邊數依次加倍，直到正
他還繼續計算，直到求出了正3072邊形的麵積，進一步得到π的近似值
3.14和3.1416這兩個數據的準確程度比較高，在當時世界上是很先進的數據。
劉徽還明確地概括了正負數的加減法則，提出了多元一次方程組的計算程序，論證了求最大公約數的原理，對最小公倍數的算法也有一定的研究。
這些都是富有創造性的成果，因此可以說，劉徽通過注解《九章算術》，豐富和完善了中國古代的數學科學體係，為後世的數學發展奠立了基礎。
劉徽撰寫的《重差》，原是《九章算術注》的第十卷，後來單獨刊行，被稱作《海島算經》。這是一部說明各種高度或距離的測量和計算方法的著作。就是關於幾何測量方麵的著作。