菲爾茲獎
羅朗·施瓦爾茲
如果說1936年的兩位數學家是因古典分析而獲得菲爾茲獎的話，那麼施瓦爾茲則可以說是以現代分析而獲獎的。他的主要貢獻是創立了廣義函數（分布）論，這個理論已成為泛函分析的重要分支，而且也成為研究現代數學尤其是分析數學的重要工具。
羅朗·施瓦爾茲於1915年出生於巴黎。在中學時期，他熱衷於學習拉丁文和希臘文，同時也愛好數學、物理學、化學與生物學。盡管他後來研究的理論十分抽象，卻始終不同於那些專鑽牛角尖的數學家，他們除了眼前一點點東西之外，什麼也不知道。他對於物理等“實際”問題始終懷有莫大興趣，為此，他年紀輕輕就已下定決心：把他所知道的數學理論做成一個融彙貫通的體係，或者把已知的理論進行係統的整理。這一方麵當然是為了追求數學的美，更主要的是為應用創造有用的工具。這個想法的確預示了他後來的成就，廣義函數論正是這種思想的集中體現。
1934年，他考上了萬人竟試的高等師範學校。他在學校中學習了當時法國老一輩數學家所擅長的分析理論，像勒貝格積分、單複變函數、偏微分方程、微分幾何學等課程。雖然這些老古董仍處於統治地位，但是變革的新風已不斷地吹了進來。1935年，高等師範學校一批年輕的畢業生結成了布爾巴基學派，標榜新數學向舊數學發起衝擊。當時他所接觸的泛函分析主要來自勒瑞。施瓦爾茲看到，泛函分析正在改變著整個分析的麵貌。
正在這個時候，他碰到了他未來的嶽父保爾·列維。列維是一位偉大的數學家，他不像其他法國數學家那樣受過正規訓練，走著按步就班的學術道路，他是自修出身的。他搞的數學也遠遠偏離當時時髦的函數論，他是現代概率論的主要奠基人之一。在列維的影響下，施瓦爾茲寫的第一篇論文就是關於概率論方麵的。雖然以後他受布爾巴基學派的影響轉向其他方麵，但在他整個工作中仍然留下了這些最初培養的印記。
1937年，他從高等師範學校畢業，取得了教師資格。這時，希特勒的鐵蹄就要踏上歐洲，年輕人都去服兵役。剛剛畢業的施瓦爾茲在兵營裏當了三年兵。
1940年6月希特勒長驅直入，大學跟著政府紛紛南遷，斯特拉斯堡再度落入德國人的手中。布爾巴基學派許多成員先後跑到法國中部克萊孟—弗蘭避難，小卡當、魏伊、丟東涅、德國爾薩特、埃瑞斯曼都來了，可以說是布爾巴基學派的大集中。施瓦爾茲也來到這裏，同布爾巴基諸人的接觸大大改變了他的學術道路。使他接觸了一套一套的新概念、新理論。他懂得抽象代數學、拓撲學、泛函分析這些“新玩意兒”正是他今後所需要的工具。
這時，施瓦爾茲進入剛剛成立的法國國家科學研究中心任助手，開始寫關於指數和的博士論文，可是他用的是泛函分析新方法。這都是布爾巴基學派的影響，連題目也是丟東涅在泛函分析課上提出來的。1943年他取得博士學位。1944年到格林諾布當講師。1945年以後，轉到布爾巴基學派的中心南錫，後來升任南錫大學教授。這時他開始係統地建立廣義函數理論。
早在伽利略時代，數學中就開始引進變量的概念，從而使數學由常量的時代進入變量的時代。變量相互依存的關係稱為函數，隨著變量數學特別是分析數學的發展，函數概念也不斷地發展變化。這正如數的概念的發展變化一樣，完全來自數學發展的需要。17世紀微積分發展時，伴隨著許多初等函數的研究；18世紀尤其是19世紀偏微分方程的發展，出現了許多特殊函數；於是要求一般的函數概念。德國數學家狄裏赫利提出一般的函數概念之後，出現了許許多多病態的函數，比如不可微的連續函數等等。開始，這些病態函數隻不過是數學家的創造，而到20世紀，物理學中也用到這種函數了。量子力學中的狄拉克δ函數就是一例。所謂δ函數在0處取值∞，在其他各點取值為0，而由—∞到∞積分又等於1。這是一種連數學家也不承認的“怪”函數。
施瓦爾茲在大學中已經考慮過如何把函數的概念加以推廣。使之可容納像δ函數這類的函數。但是，他當時學的那一套經典理論是根本達不到這個目的的。現在他有了新工具，建立新的理論的希望更大了。1944年他在格林諾布一個人研究弗雷歇空間的對偶理論，這使他在1945年初幾乎很快地就“發現”他所需要的廣義函數。1945到1946年他發表了四篇廣義函數的論文並在法蘭西學院的講課中加以講授。
在他“發現”廣義函數之前，他並不知道許多數學家已經有許多具體的廣義函數概念了，有的概念甚至可以追溯到19世紀30年代。不過，施瓦爾茲的功績在於建立一個完整的體係，而這點是其他數學家沒有做到的。而現代的幾乎所有應用都建築在這個係統之上。這種問題使人想到微積分的發明。丟東涅說，施瓦爾茲對廣義函數論所起的作用正像牛頓和萊布尼茲在微積分曆史上的作用一樣。牛頓和萊布尼茲並不像一般人所認為的那樣“發明”了微積分，早在他們還是小學生時，許多人就已經運用微積分的方法了。他們的貢獻在於把微積分的概念和算法係統化，使之成為我們現在非常熟悉的一種強有力的多麵手式的工具。同樣，施瓦爾茲隻是把以前的零散思想鑄造成一種統一和完全的理論，並且加進許多新定義及結果（像張量積和卷積等重要概念）。這個結果集中地寫在《廣義函數論》兩卷書中，它們分別於1950年及1951年出版。
廣義函數論的理論體係形成之後，施瓦爾茲和他的學生不斷發掘理論的潛在威力，並且尋找各種應用。近30年來，廣義函數論已經成為分析的重要工具。
近30年來，施瓦爾茲在泛函分析、偏微分方程、概率論等方麵做出了許多貢獻。在1964年同嘉當合作組織的“阿提雅一辛格指標定理”的討論班之後。獨立主持“施瓦爾茲討論班”，培養起一代新人，對當代分析、概率論產生了巨大的影響。
施瓦爾茲不僅是著名學者，他還是位政治家、社會活動家。最近他還花了整整半年時間，專門研究法國的教育改革問題，他說，這是他畢業後唯一沒有搞數學的半年期間。他對於第三世界的數學發展也很關心，在世界各地有很大影響。
賽爾伯格
在菲爾茲獎的早期得獎者中，賽爾伯格在數學界活躍的時間相當長。他在40年代就嶄露頭角，1950年得獎之後，又繼續在許多分支上做出重要的工作。在本世紀的數學史上（特別是數論史上），留下了一些以他命名的數學名詞：賽爾伯格不等式、賽爾伯格等式、賽爾伯格漸近公式、賽爾伯格篩法、賽爾伯格ξ函數、賽爾伯格猜想……。
賽爾伯格是一位挪威血統的美國數學家。1917年6月14日，他生於挪威的朗根鬆。賽爾伯格的全部教育都是在挪威國家內接受的。挪威，是一個產生過阿貝爾這樣偉大數學家的北歐國家，數學教育水平頗高。賽爾伯格在奧斯陸大學上學，大學畢業後又留下當研究生。1943年他獲得了博土學位學位論文題為《論黎曼ζ函數的零點》。這篇1942年發表的長達59頁的論文使他嶄露頭角，其影響遠遠超出了斯堪的納維亞半島。今天，每當人們談到求證黎曼猜想這一難題的漫長曆史時，總還得提起這一成果。
1959年，黎曼提出了一個八頁的論文《論小於給定數的素數個數》，其中包含著好幾個猜想。最著名的，就是迄今未獲解決的“黎曼猜想”：
而從1859年算起，100年過去了，這個問題仍然是一個未解決的超級難題。
和其他一切困難問題一樣，當人們無力從正麵一下子加以解決時，就隻好迂回地分階段地對付它。現在進攻黎曼猜想的一個重要途徑，是比較N（T）0（T）和N，這裏N（T）是矩形｛0＜t＜T，0≤б＜1｝中
的零點個數。黎曼猜想無非是說：對任何T＞0，有N0（T）=N（T）0由於上述線段是矩形的一部分，N0（T）≤N（T）是顯然的。於是黎曼猜想等價於要證：N0（T）≥N（T）。
賽爾伯格的博士論文，在這個方向上跨出了重要的第一步。他證明了：存在一個常數A，使得N0≥ATlogT。這大體上相當於：N0（T）≥A·N（T）。賽爾伯格並沒有具體算出其中的A是什麼，事實上用他的方法得出的A非常小。離黎曼猜想所要求的A=1還很遠。但他的成果畢竟是開拓性的，並因此而載入史冊。
1942年到1947年間，賽爾伯格在奧斯陸大學作研究員。由於上述成果，他的名聲遠揚國外。1947年，賽爾伯格結了婚並應邀赴美，從此以後就一直留居美國。
賽爾伯格是1947年到達普林斯頓的，並在1951年成為普林斯頓高等研究院的教授。普林斯頓高等研究院是美國也是世界上的一個著名研究院。第二次世界大戰期間及其後，這個研究院因為擁有愛因斯坦這樣偉大的物理學家和外爾、馮·諾意曼這樣傑出的數學家，而成為享譽世界的科學中心。賽爾伯格是50年代時這個研究院數學方麵的骨幹之一。良好的環境，使他在這以後做出了多方麵的成果。比較早而有趣的，當推1949年他給出的素數定理初等證明。
勒讓德和高斯曾經根據大量的具體數字材料猜測到，不超過自然數x的
這就是所謂的“素數定理”。過了將近100年，這個定理才由阿達瑪和達拉瓦勒布桑分別獨立地給出用到複變函數方法的證明。以後，維納又給出了一個方法也不初等的新證明。許多人懷疑這個定理最終是否會有初等證明出現。例如，英國解析數論大師哈代1921年在哥本哈根數學會發表講演時就說過：雖然“斷言一個定理肯定不能用某種方法證明是輕率的”，但是素數定理的初等證明照他看來是格外不可能的。“如果誰給出了素數定理的初等證明，那他就證明了（我們現在關於數論、解析函數論中何謂深刻，何謂膚淺的）見解是錯誤的……，從而到了該丟掉一些著作並重寫理論的時候了。”
在哈代說了這句話28年以後，賽爾伯格和另一位同樣年輕的匈牙利數學家愛多士同時用初等方法證明了素數定理。他們倆人的證明都依靠了同一個不等式——現在習稱為賽爾伯格不等式，它的意義甚至超過了這個初等證明。
1950年，戰後的第一次國際數學家大會在美國坎布裏奇舉行。賽爾伯格成了戰後第一屆菲爾茲獎的獲得者之一。
得獎以後，賽爾伯格的研究興趣曾遍及多個主題。1952年，他對布隆篩法作出了重要的改進，克服了後者定出的上下界過於寬泛的缺點。1956年，他寫出了《弱對稱黎曼空間中的調和分析和不連續群及其對於狄裏赫萊級數的應用》一文，開拓了一個新的研究方向。從60年代起，他的研究興趣轉向連續群的離散子群。
斯梅爾
斯梅爾是繼托姆、米爾諾之後的又一位以微分拓撲學的重要成就而獲得菲爾茲獎的。他的主要工作是證明廣義龐加萊猜想。在1960年之後，他轉向微分動力係統理論的研究，是現代抽象動力係統理論的創始人之一。這個理論也是60年代趨於成熟的新領域——大範圍分析的重要組成部分。
斯蒂芬·斯梅爾1930年7月15日生於美國密執安州福林特。18歲考入密執安大學，1952年畢業，1953年獲得碩士學位。然後繼續在密執安大學跟著著名拓撲學家鮑特攻讀博士學位。他的學位論文的題目是微分流形的浸入問題。這個問題是微分拓撲學的根本問題，要解決它需要很強的幾何直觀能力，而斯梅爾正是以此著稱的。
1956年對斯梅爾是不平常的一年，他在這一年取得了博士學位，然後偕夫人克拉拉一起去墨西哥旅行。他參加了在墨西哥城舉行的國際代數拓撲學會議，這是他頭一次參加數學會議，也是他第一次進入國際數學界。這次會議對他的影響很大，幾乎所有的名家大師都來了，其中有卡當、愛倫堡、斯廷洛德、懷特海等人，他們的工作奠定了戰後代數拓撲學的發展新方向。會上一些新秀也都報告了他們最新的工作，像塞爾、托姆、米爾諾，他們都先後獲得菲爾茲獎。尤其是他同托姆的會麵更是對他的科研方向有著決定性的意義，開完會以後，托姆到芝加哥大學做報告，而斯梅爾也正好在芝加哥大學找到工作，因此他有機會直接學習托姆的理論。
斯梅爾喜歡旅行，而且飽覽了許多國家的美麗風光。1958年到1960年，他得到國家科學基金會的獎學金，在普林斯頓高等研究院呆了一年之後，便帶著妻子和孩子乘著出租汽車，穿過巴拿馬的原始叢林南下，進入厄瓜多爾，在飽覽安地斯高原風光之後，從厄瓜多爾首都基多乘小火車經過叢林到瓜亞基爾，然後乘飛機到巴西的裏約熱內盧。
在巴西，他結交了一些新成長起來的拉丁美洲數學家，同他們一起研究動力係統。無疑，斯梅爾是其中的領袖人物。他經常一大清早在大西洋岸邊，拿著一張紙、一支筆，一個人在那裏沉思默想，他的思想豐富，他有好多思想就是那時在海灘上得到的。