37、拿破侖向法國數學家挑戰
尺規作圖特有的魅力，使無數的人沉湎其中，樂而忘返。連拿破侖這樣一位威震歐洲的風雲人物，在轉戰南北的餘暇，也常常沉醉於尺規作圖的樂趣中。有一次，他還編了一道尺規作圖題，向全法國數學家挑戰呢。
拿破侖出的題目是：“隻準許使用圓規，將一個已知圓心的圓周4等分。”
由於圓心O是已知的，求出這個題目的答案並不難。
我們可以在圓周上任意選一點A，用圓規量出OA的長度，然後以A點為圓心畫弧，得到B點；再以B點為圓心畫弧，得到C點；再以C點為圓心畫弧，得到D點。這時，用圓規量出AC的長度，再分別以A點和D點為圓心畫兩條弧，得到交點M。接下來，隻要用圓規量出OM的長度，逐一在圓周上劃分，就可以把圓周4等分了。
如果再增添一把直尺，將這些4等分點連接起來，就可以得到一個正4邊形。由此不難看出，等分圓周與作正多邊形實際上是一回事。
隻使用直尺和圓規，怎樣作出一個正5邊形和正6邊形呢?
這兩個題目都很容易解答，有興趣的讀者不妨試一試。
不過，隻使用直尺和圓規，要作出正7邊形可就不那麼容易了。別看由6到7，僅僅隻增加了一條邊，卻一躍成為古代幾何的四大名題之一。尺規作圖題就是這樣變化莫測。
38、三角架豎立的奧秘
三角架有許多用處：攝影愛好者用它來支撐照相機；露營野炊者用它來做燒水做飯的支架；……。三角架簡單實用，但使用時必須注意，三角架的“頭”應處在它的三隻“腳”所構成的三角形之中，這樣才穩定。若三角架的“頭”偏出了三隻“腳”所在的三角形區域外，那麼三角架就會翻倒。
這是因為任何物體都有一個重心，如果物體的重心越出物體支撐點的範圍，物體就會不穩甚至翻倒。要使三角架穩定，就應該使它的“頭”落在它的支撐點範圍——三角架的“腳”所構成的三角形之內。所以正確掌握重心位置是物體穩定的關鍵。表演雜技頂花瓶的演員正是利用了這一道理，才會有驚人的表演。演員把一根木棒頂在放有花瓶、茶杯等東西的玻璃板下，使得玻璃板上的重心落在木棒上，玻璃板上的花瓶、茶杯等就不會翻倒。
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把三根杆子的一端係在一起，另一端支開，就構成了一個三角架。係在一起的是三角架的“頭”，支開的三端則是三角架的三隻“腳”。“頭”與三隻腳構成三角形的重心垂直時，三角架最牢固。
39、蜜蜂的超前智慧
蜜蜂不僅勤勞，也極有智慧。它們在建造蜂房時顯示出驚人的數學才華，連人間的許多建築師也感到慚愧。
在數學上，如果用正多邊形去鋪滿整個平麵，這樣的正多邊形隻可能有3種，即正三角形、正方形、正六邊形。蜂房是蜜蜂盛裝蜂蜜的庫房。它由許許多多個正六棱柱狀的蜂巢組成，蜂巢一個挨著一個，緊密地排列著，中間沒有一點空隙。
蜜蜂憑著它本能的智慧，選擇了角數最多的正六邊形。這樣，它們就可以用同樣多的原材料，使蜂房具有最大的容積，從而貯藏更多的蜂蜜。
也就是說，蜂房不僅精巧奇妙，而且十分符合需要，是一種最經濟的結構。
曆史上，蜜蜂的智慧引起了眾多科學家的注意。著名天文學家開普勒曾經指出：這種充滿空間的對稱蜂房的角，應該和菱形12麵體的角一樣。法國天文學家馬拉爾弟則親自動手測量了許多蜂房，他發現：每個正六邊形蜂巢的底，都是由3個全等的菱形拚成的，而且，每個菱形的鈍角都等於109°28′，銳角應該是70°32′。
小小的蜜蜂可真不簡單，數學家到18世紀中葉才能計算出來、予以證實的問題，它在人類有史之前已經應用到蜂房上去了。
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蜜蜂的勤勞是最受人們讚賞的。有人作過計算，一隻蜜蜂要釀造1公斤的蜜，就得去100萬朵花上采集原料。如果花叢離蜂房的平均距離是1、5公裏，那麼，每采1公斤蜜，蜜蜂就得飛上45萬公裏，幾乎等於繞地球赤道飛行了11圈。
40、烏龜殼上的神奇“洛書”
相傳在大禹治水的年代裏，陝西的洛水常常大肆泛濫。洪水衝毀房舍，吞沒田園，給兩岸人民帶來巨大的災難。於是，每當洪水泛濫的季節來臨之前，人們都抬著豬羊去河邊祭河神。每一次，等人們擺好祭品，河中就會爬出一隻大烏龜來，慢吞吞地繞著祭品轉一圈。大烏龜走後，河水又照樣泛濫起來。
後來，人們開始留心觀察這隻大烏龜。發現烏龜殼有9大塊，橫著數是3行，豎著數是3列，每一塊烏龜殼上都有幾個小點點，正好湊成從1到9的數字。可是，誰也弄不懂這些小點點究竟是什麼意思。
有一年，這隻大烏龜又爬上岸來，忽然，一個看熱鬧的小孩驚奇地叫了起來：“多有趣啊，這些小點點不論是橫著加，豎著加，還是斜著加，算出的結果都是15!”人們想，河神大概是每樣祭品都要15份吧，趕緊抬來15頭豬和15頭牛獻給河神……果然，河水從此再也不泛濫了。
這個神奇的故事在我國流傳極廣，甚至寫進許多古代數學家的著作裏。烏龜殼上的這些點點，後來被稱作是“洛書”。一些人把它吹得神乎其神，說它揭示了數學的奧秘，甚至胡說因為有了“洛書”，才開始出現了數學。
撇開這些迷信色彩不談，“洛書”確實有它迷人的地方。普普通通的9個自然數，經過一番巧妙的排列，就把它們每3個數相加和是15的8個算式，全都包含在一個圖案之中，真是令人不可思議。
在數學上，像這樣具有奇妙性質的圖案叫做“幻方”，“洛書”便是其中的一種。
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幻方不僅吸引了許多數學家，也吸引了許許多多的數學愛好者。我國清朝有位叫張潮的學者，本來不是搞數學的，卻被幻方弄得“神魂顛倒”。後來，他構造出了一批非常別致的幻方。“龜文聚六圖”，就是張潮的傑作之一。圖中的24個數起到了40個數的作用，使各個6邊形中諸數之和都等於75。
歐洲著名數學家歐拉曾想出一個奇妙的幻方。它由前64個自然數組成，每列或每行的和都是260，而半列或半行的和又都等於130。最有趣的是，這個幻方的行列數正好與國際象棋棋盤相同，按照馬走“日”字的規定，根據這個幻方裏數的排列順序，馬就可以不重複地跳遍整個棋盤!所以，這個幻方又叫“馬步幻方”。
41、七座橋引出位置幾何學
18世紀，東普魯士(今屬奧地利)有個城市叫哥尼斯堡，那裏有七座橋。一天又一天，這七座橋上走過了無數的行人。不知在什麼時候，七座橋觸發了人們的靈感，一個有趣的問題在居民中傳開了：一個散步者怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋隻走過一次，最後回到出發點?
當時著名的數學家歐拉分別以C、D兩點表示兩個小島，以A、B兩點表示南北兩岸，用連結兩點的線表示連接兩塊陸地的橋。這樣，就把“七橋問題”抽象成了一個“一筆畫”問題。由圖可見，A、B、C、D四個點都與奇數條線相連。因此，由歐拉定理斷定，一筆畫出圖的方法是不存在的，從而不重複地通過七座橋的路線也是不存在的。
“七橋問題”是一個幾何問題，但它卻是歐幾裏德幾何學所沒有研究過的。歐幾裏德幾何研究的，都是與幾何圖形的長度、角度等有關的性質，而在“一筆畫”問題中，線條的長短、曲直、交點的準確方位，都是不重要的，重要的是點線之間的相關位置，或連續情形。因此，歐拉認為這是一門新的幾何學分支，並據萊布尼茲的提法，叫它“位置幾何學”。
42、“賭徒之學”
17世紀時，法國有一個很有名的賭徒，名字叫默勒。一天，這個老賭徒遇上了一件麻煩事，使他傷透了腦筋。
這天，默勒和一個侍衛官賭擲骰子，兩人都下了30枚金幣的賭注。如果默勒先擲出3次6點，默勒就可以贏得60枚金幣；如果侍衛官先擲出3次4點，這60枚金幣就歸侍衛官贏走。可是，正當默勒擲出2次6點，而侍衛官隻擲出了1次4點時，意外的事情發生了。侍衛官接到通知，必須馬上回去陪國王接見外賓。
賭博無法繼續下去了。那麼，如何分配兩人下的賭注呢?
默勒說：我隻要再擲出1次6點，就可以贏得全部金幣，而你要擲出2次4點，才能贏得這麼多金幣。所以，我應該得到全部金幣的3/4，也就是45枚金幣。”
侍衛官不同意這種說法，反駁說：“假如繼續賭下去，我要2次好機會才能取勝，而你隻要一次就夠了，是2∶1。所以，你隻能取走全部金幣的2/3，也就是40枚金幣。
兩人爭論不休，結果誰也說服不了誰。
事後，默勒越想越覺得自己的分法是公平合理的，可就是說不出為什麼公平合理的道理來。於是，他寫了一封信向法國著名數學家帕斯卡請教：
“兩個賭徒規定誰先贏s局就算贏了。如果一人贏了a(a 帕斯卡對這個問題很有興趣，他把這個題目連同他的解法，寄給了著名法國數學家費爾馬。不久，費爾馬在回信中又給出了另一種解法。
帕斯卡給費爾馬的信，寫於1654年7月29日，這是一個值得記住的日子。因為他們兩人的通信，奠定了一門數學分支的基礎，這門數學分支叫做概率論。
43、愛吹牛的理發師
1919年，著名英國數學家羅素編了一個很有趣的“笑話”。
小鎮有個愛吹牛的理發師。有一天，理發師誇下海口說：“我給鎮上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且隻給這樣的人刮胡子。”
大家聽了直發笑。有人問他：“理發師發生，您給不給自己刮胡子呢?”
“這，這，……”理發師張口結舌，半響說不出一句話來。
原來，這個愛吹牛的理發師，已經陷入自相矛盾的窘境。如果他給自己刮胡子，那就不符合他聲明的前一半，這樣，他就不應當給自己刮胡子；但是，如果他不給自己刮胡子，那又不符合他聲明的後一半，所以，他又應當給自己刮胡子。無論刮不刮，橫豎都不對。
像理發師這樣在邏輯上自相矛盾的言論，叫做“悖論”。羅素編的這則笑話，就是數學史上著名的“理發師悖論”。
理發師的狼狽相是很好笑的，可是，數學家聽了卻笑不起來，因為他們自己也像那個愛吹牛的理發師一樣，陷入了自相矛盾的尷尬境地。
實際上，20世紀初期的數學家們，比那個愛吹牛的理發師更狼狽。理發師隻要撤消原來的聲明，厚起臉皮哈哈一笑，什麼事情都沒有了；數學家可沒有他那樣幸運，因為他們遇上了一個無法回避的數學悖論，如果撤消原來的“聲明”，那麼，現代數學中大部分有價值的知識，也都蕩然無存了。
這個數學悖論也是羅素提出來的。1902年，羅素從已被人們公認為數學基礎理論的集合論中，按照數學家們通用的邏輯方法，“嚴格”地構造出這個數學悖論。把它通俗化就是理發師悖論。如數學中的集合論就是一例。
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集合論是19世紀末發展起來的一種數學理論，它已迅速深入到數學的每一個角落，直至中學數學課本。它極大地改變了整個數學的麵貌。正當數學家們剛剛把數學奠立在集合論的基礎上時，羅素悖論出現了，它用無可辯駁的事實指出，誰讚成集合論，誰將變成一個“愛吹牛的理發師”，從而陷入自相矛盾的窘境。數學家們尷尬萬分，如果繼續承認集合論，那麼，號稱絕對嚴密的數學，就會因為羅素悖論這樣的怪物而不能自圓其說；如果不承認集合論，那麼，許許多多重要的數學發明也就不複存在了。
44、數學的“軟工具”
有一個兩人遊戲：桌麵上放著一堆火柴，由兩人輪流從這堆火柴裏每次取走1—3根，誰取走這堆火柴的最後一根，誰就是獲勝者。要想取勝，就必須找出獲勝的規律。
如果原先隻有1根火柴，這時很明顯，誰先輪到誰贏。如果有2根或3根，那麼結論也與1根火柴一樣。如果有4根火柴，先取一方隻能取走1根、2根、3根，而剩下3根、2根、1根，那麼後取方總能取勝。因此，如某人能在取火柴後留下4根，就一定能獲勝。
依次對5根、6根……火柴實驗，可發現，隻要在某次取後分別留下8、12、20…根火柴，就一定能獲勝。也即獲勝的規律是，必須每次取火柴後留下4n(n＝0，1，2，……)根火柴，定會獲勝。
拿火柴的一般獲勝辦法，是從個別的、簡單的情況出發，通過實驗推論得出結論，然後再總結出一個一般性結論，這種方法就叫歸納法。它是人類認識客觀法則的重要方法。
歸納法是數學中的一種重要方法，除它之外，還有演繹法、綜合法、類比法、分析法等，它們統稱為邏輯方法，也稱為數學的“軟工具”。
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由歸納法歸納出來的規律不一定都是成立的，因而嚴格地講應稱為“不完全歸納法”。有一笑話就是說明這種情況的，說的是從前一個地主，請了先生給他兒子認字，先生便教他臨摹，寫一劃教：“這是一字”，寫兩劃，又教“這是二字”，寫了三劃告訴他：“這是三字”。地主兒子一看寫字太簡單了，於是告訴他父親已全部學會，可以辭退先生。一天，地主要請姓萬的人來喝酒，讓兒子寫帖，兒子從早到晚都在寫，遲遲寫不完帖子。地主進屋一看，兒子正在一劃一劃地寫，還抱怨要寫1萬個一劃太累了呢。
這說明簡單地歸納會出錯。
45、小數點的大用場
小數是中國首先發明和使用的，而使用小數點“、”則是近300年的事。在南宋大數學家秦九韶的著作《數書九章》中，出現了十進小數的現代記法。例如，他把324506、25記為如圖的形式：用“餘”字明確表示該位以後都是小數部分，“餘”字就相當於現在的小數點。
最早的小數點記法是在16世紀德國數學家克拉維斯的著作中出現的，他使用的小數點“、”與現在的意義相同，是作為整數部分與小數部分分界的記號。
西方人把十進小數的發明歸功於16世紀的比利時數學家斯蒂文。他引進的十進小數符號是比較複雜的。例如，他把5、912寫成
59①1②2③。
後來，也有的西方人這樣來記5、912：
5，9′1″2′″
他們是用“”或“，”來表示小數點，用“①、②、③”或“′、″、′″”表示小數點後的第一、二、三位小數。
46、紀塔娜女神的智慧
在非洲流傳著一個古老的神話：一個酋長要分給紀塔娜女神一塊土地，這塊土地的大小可以用一張灰鼠皮圍起來，這位酋長十分得意。心想，一張灰鼠皮本來就很小，用它能圍出多大一塊土地?