1.《九章算術》的算術成就
《九章算術》的算術成就包括分數運算、各種比例問題和盈不足術三個方麵。
分數運算《九章算術》中的分數內容主要在方田章，其中有“約分”、“合分”（加法）、“減分”（減法）、“乘分”（乘法）、“經分”（除法）、“課分”（分數的大小比較）、“平分”（求分數平均數）等。“約分”和現在的約分一樣。為什麼要約分，書中說，因為“不約則繁，繁則難用”，所以要約分。約分的方法是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。”可半者半之，即如分子分母均為偶數，則可先以2約分。不可半者，則采用更相減損術先求等數（即公因子），然後用等數約之。副，另放一旁的意思。
現在通常采用的分數寫法，開始於明末西洋筆算傳入中國之時，當時曾有將分母放在分子上的記法。直到清末新式學校中的算術課本才采用現在的寫法。
各種比例問題 在《九章算術》衰分章、均輸章、勾股章中都有不少比例問題。
《粟米》章一開始就列舉了各種糧食的互換比率。“粟米之法：‘粟米五十，糲米三十、粺米二十七、米二十四……’”這就是說：穀子五鬥可換糙米三鬥，又可換九折精米二鬥七升，八折精米二鬥四升……粟米章內許多糧食之間的兌換關係均按這個比率計算。如：
粟米章第1題：“今有粟米一鬥，欲為糲米，問得幾何？”它的解法是：“以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。”這裏，所有數是粟米1鬥（10升），所有率是5，所求率是3.於是依術10×3÷5=6升。這種算法叫“今有術”。“今有術”就是比例，是從關係式：
另外，還有現在所謂的複比例問題和鏈鎖比例問題，也都用“今有術”解決。比例分配問題也可用“今有術”解決。如衰分章第2題：“今有牛、馬、羊，食人苗，苗主責之粟五鬥，羊主曰，我羊食半馬（所食）。馬主曰，我馬食半牛（所食）。今欲衰償之（按一定比例遞減賠償）問各出幾何？”依照羊主人、馬主人的話，牛、馬、羊所食粟相互之比率是4：2：1，就是用4、2、1各為所求率，4 2 1=7為所有率，粟米50升為所有數，以“今有術”演算得牛主人應償4450“今有術”是從三個已知數求出第四個數的算法，7世紀時在印度為婆羅摩笈多所知，稱之為“三率法”。後來三率法傳入阿拉伯，再由阿拉伯傳到歐洲，仍保持三率法的名稱。歐洲商人十分重視這種算法，叫它為“金法”，意思是賺錢的算法。可見歐洲人對這種算法的推崇。
《九章算術》的幾何成就包括麵積與體積計算，勾股問題以及勾股測量三個方麵。
麵積與體積 麵積與體積的計算起源很早，《九章算術》將它放在第一章，另外，商功章內有體積計算問題。
我國古代的幾何圖形麵積計算是直接從測量田畝的實踐中產生的，因此幾何圖形的名稱從田地的形狀得來。如“方田”、“圭田”、“直田”、“邪田”（或“箕田”）、“圓田”、“弧田”、“環田”等，分別表示正方形、三角形、長方形、梯形、圓、弓形、圓環等。
《九章算術》對上述各種圖形都有計算公式。
如“圭田術曰：半廣以乘正從”。意思是，計算三角形麵積的方法是底長之半乘高。
前四句是講正負數的減法，後四句是講加法。顯然，這是完全正確的。籌算怎樣來表示正負數？劉徽有一個說明：“今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑。否則以邪正為異。”這句話是說，同時進行兩個運算，若結果得失相反，那就要分別叫做正數和負數。並用紅籌代表正數，黑籌代表負數。不然的話，將籌斜放和正放來區別。
這是世界數學史上最早做出的對正負數的明確區分。
世界上除中國外，負數概念的建立和使用都經曆了一個曲折的過程。
希臘數學注重幾何，而忽視代數，幾乎沒有建立過負數的概念。印度婆羅摩笈多開始認識負數，采用小點或小圈記在數字上麵表示負數。對負數的解釋是負債或損失，隻是停留在對相反數的表示上，尚未將負數參與運算。
歐洲第一個給出負數正確解釋的是斐波那契，他在解決一個關於某人的贏利問題時說：“我將證明這問題不可能有解，除非承認這個人可以負債。”
1484年法國的舒開給出二次方程一個負根，卡當在1545年區分了正負數，把正數叫做“真數”，負數叫做“假數”，並正式承認了負根，不過，這些思想都沒有在歐洲引起足夠重視。直到18世紀有些數學家還認為負數這個比零小的數，是不可能的。