第9章 無奈的落幕(1 / 3)

希臘後期的數學一般指公元前146年羅馬滅亡希臘以後的數學。由此,希臘本土的文化逐漸退居次要地位,科學中心開始轉移到埃及的亞曆山大裏亞城,成為新的希臘文化淵藪。由於亞曆山大裏亞的學者繼續不斷地發明、創造,推動了數學的發展。以下幾位數學家的工作是值得提及的。

海倫公式

在希臘後期,雖然對歐幾裏得《幾何原本》沒有作出根本性改革,但也作了很多添補工作。對此,首先作出貢獻的是海倫。

海倫(約公元60年)著《關於測量儀》一書,其中提出了確定羅馬和亞曆山大之間的時差問題的一個較複雜的方法,並用這種儀器觀測兩地的月食。

海倫的著作主要是由幾何學、應用幾何學、應用機械學合編成的一部百科全書性質的書籍-《幾何》。在這部著作中,闡述了象測量儀一類器具的使用方法。他還注釋了歐幾裏得的著作以及撰寫有關麵積和體積的書籍,但其名著是《測量術》。這部著作分三篇,第一篇是麵積的計算;第二篇是體積的計算;第三篇是解決麵積和體積的有關比例問題。

第一篇是最重要的篇章,其中給出已知三角形邊長,求三角形麵積的公式,即“海倫公式”。

海倫是通過具體的三角形推出此公式的,首先假定三角形的邊長分別是13,14,15。海倫給出二種方法計算,其一是利用三角形的高來求麵積,其二是不求出高,利用三邊求麵積,他按如下步驟計算。

(1)將三邊長相加13+14+15=42。

(2)取和的一半42÷2=21。

(3)從21減去各邊長21-13=8,21-14=7,21-15=6。

(4)求積、開方21×8×7×6=7056,此三角形的麵積是84。

如上步驟,可寫成如下公式:=s(s-a)(s-b)(s-c)(△表示三角形麵積,a、b、c為三邊長,s=(a+b+c2)這就是著名的海倫公式。

德國數學家康托爾(1829-1920)曾指出,上述公式在海倫的原典中有明確記載。但是,根據阿拉伯文獻記載,阿基米德已經知道這個公式,是海倫利用三角形的內切圓征明了此公式。

三角學的進展

三角學在這個時期有了進一步發展。雖然人們對這門學科本身的興趣在衰退,但逐漸成了其他學科,尤其是天文學的輔助學科。三角學這門科學是從確定平麵三角形和球麵三角形的邊和角的關係開始的。很可能埃及人早已發現三角形的不同元素之間具有某種關聯,但首先看到有必要建立三角形的邊與角之間的精確關係的,仍是希臘人。

三角學在西方的最早的奠基人是希臘的希帕霍斯(?-公元前127以後)。他是古希臘的天文學家。為了天文觀測的需要,作了一個和現今三角函數表相仿的“弦表”,相當於現在圓心角一半的正弦線的兩倍,可惜這份表沒有保存下來。

繼承和發展了希帕霍斯研究成果的,是古代天文學的集大成者托勒密(約100-約170)。他撰寫一部天文學著作,原名為《數學彙編》,後來譯成阿拉伯文,再轉譯成拉丁文,變成Almagest的書名,意為《天文集》,這是一部主張“日心說”的著作。

托勒密在天文學上的研究,試圖建立能精確確定某些關係的規則,正是為了改善天文計算為目的,三角學才應運而生。因此,球麵三角學的研究先於平麵三角學。

托勒密《天文集》的第一篇附有一張弦表,相當於給出了從(14)°到90°角的正弦表。書中的所謂弦,就是指圓弧上對圓心角所張弦的長度。

由於弧的大小是它所對之角的量度,所以,顯然在上圖中弦2α(即在弧上對著角2α所張弦的長度)和我們所說的sinα之間存在等價性,不難看出,12chord2α(“chord2α”表示2α所對應的弦長)和sinα是兩個等價式。

可以推測,托勒密的方法相當複雜,不妨簡述如下。托勒密首先認識到,確定不同角度的弦相當於如何設法解決用圓的直徑長度表示圓內接正多邊形的邊長問題。值此,他把圓周分成360等份,即360度。直徑則被分成120等份,使用60進位分法,實際上也推廣到分數,並使用了等分、分、秒等名稱。這樣就能用直徑上許多等份來表示圓弧上對任一圓心角所張弦的長度。這乃是角的弦。

托勒密為擴充他的表,利用了人們熟知的關係式。從上圖可以看出:(chord2β)2+chord(180°-2β)2=AC2+AB2=BC2,即1202。

因為12chord2β等於sinβ,而12chord(180°-2β)等於sin(90°-2β)或cosβ,所以上式也就是著名的關係式:sin2α+cos2α=1。

托勒密進一步建立chord(α-β)的表示式,即sin(α-β)公式,還確立了半角的弦和全角的弦之羊的關係,即:12sin2α=(1-cos2α)。

托勒密的具體作法可表述為:

在直徑AD上作一半圓,B和C是半圓上的兩點,如上圖。顯然有AC=chordθl,AB=chordθ2,BC=chord(θ1-θ2),BD=chord(180°-θ2),CD=chord(180°-θ1)。