法蘭西學院還曾有一份報告“預測”道：“數學的幾乎所有分支裏，人們都被不可克服的困難阻擋了。吧細枝末節完善化看來是接下來唯一可以做的事情了，所有這些困難好像是宣告我們的分析力量實際上已經窮竭了。”
這樣的悲觀論點，在18世紀末，頗為盛行。
然而在進入19世紀後，與上世紀末人們的悲觀預料完全相反，數學在19世紀進入了一個前所未有的突飛猛進時期。
所以，可以將19世紀的數學，稱之為涅槃期。
程理在第001層到第500層的這500道問題裏，遇到了許許多多關於19世紀數學的經典問題。
比如，代數方程的可解性和群的發現。
代數學由於群的概念引進和發展，獲得了新生。這使得代數學的研究對象，不僅僅是代數方程，而更多是研究各種抽象的“對象”的運算關係，這也是後來集合論、邏輯學的根基。
此外，還有四元數道超複數的問題，也是讓程理十分頭疼的。
而在19世紀中葉開始，布爾代數的出現，則讓代數學徹底進入了一個全新的領域——邏輯的領域。
人們第一次發現，原來邏輯也是可以運算的。而這也是後世計算機誕生的理論基礎來源。
除了代數學以外，在幾何學領域，19世紀的幾何學，甚至可以用顛覆這個詞來形容。
在19世紀之前，幾何學還一直是歐幾裏德的下，人們將其信奉為真理。
就好像那時候的人們，在物理學領域將牛頓力學信奉為真理，是一樣的。
然而進入19世紀後，人們隱約發現，歐幾裏德的幾何並非那麼完美。
特別是歐幾裏德的第五公設：
“過已知直線外一點，能且隻能作一條直線與已知直線平行。”
在進入19世紀後，不少人都隱約感覺到歐幾裏德的這條公設，是有點問題的。
但是經典的權威，讓人們懼於公開發表非歐幾何的言論。
以至於，當時有著“數學之王”美譽的高斯，雖然已經有了非歐幾何的理論構想，但因為擔心被世俗所攻擊，所以生前並沒有發表過任何非歐幾何的著作，人們還是後來從他的遺稿中，發現了他有過非歐幾何的研究。
事實上，“非歐幾何”，也就是“非歐幾裏德幾何”，這個名詞還是高斯創造出來的。
不過連高斯這樣德高望重的人，都不敢公開發表這方麵的觀點，可想而知，在當時要挑戰權威是多麼困難的事情。
幸好，一個名為羅巴切夫斯基的數學家，用十分堅定和激進的言論，不懼權威的在189年發表了自己的著作《論幾何原理》，這是曆史上第一篇公開發表的非歐幾何文獻。
程理在算學碑中，第177層遇到的問題，就是來自《論幾何原理》。
第177層的問題就是：
“問，如何證明通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行於已知直線。”
程理當時耗費了10分鍾寫下的證明過程，就是推翻了歐幾裏德第五公設，並由這個替代公設，發展出一個全新的幾何學——非歐幾何！