關孝和（日本人）在1683年最早引入了行列式概念。而關於行列式理論最係統的論述，則是雅可比（C.G.J.Jacobi）1841年的《論行列式的形成與性質》一書。在邏輯上，矩陣的概念先於行列式的概念；而在曆史上，次序正相反。凱雷在1855年引入了矩陣的概念，在1858年發表了關於這個課題的第一篇重要文章《矩陣論的研究報告》。
到了19世紀，行列式和矩陣受到人們極大的關注，出現了上千篇關於這兩個課題的文章。但是，它們在數學上並不是大的改革，而是速記的一種表達式。不過已經證明它們是高度有用的工具。
多項式代數的研究開始是對3、4次方程求根公式的探索。1515年，菲洛解決了被簡化為缺2次項的3次方程的求解問題。1540年，費爾拉裏成功地發現了一般4次方程的代數解法。人們繼續尋求5次、6次或更高次方程的求根公式，但這些努力在200多年中並未有明顯的突破。
1746年，達朗貝爾第一次給出了“代數學基本定理”的證明。這個並不算完善的定理斷言：每一個實係數或複係數的n次代數方程，至少有一個實根或複根。因此，一般地說，n次代數方程應當有n個根。1799年，22歲的高斯在寫博士論文中，給出了這個定理的第一個嚴格的證明。1824年，22歲的阿貝爾證明了：高於4次的一般方程的全部係數組成的根式，不可能是它的根。1828年，年僅17歲的伽羅華創立了“伽羅華理論”，包含了方程能用根號解出的充分必要條件。
4.數論
數論以正整數作為研究對象，雖然可以看作是算術的一部分，但它不是以運算的觀點，而是以數的結構的觀點，即一個數可用性質較簡單的其他數來表達的觀點來研究數的。因此可以說，數論是研究由整數按一定形式構成的數係的科學。
早在公元前3世紀，《幾何原本》中就曾討論了整數的一些性質。歐幾裏得證明素數的個數是無窮的，還給出了求兩個數的公約數的輾轉相除法。這與我國《九章算術》中的“更相減損法”是相同的。埃拉托色尼則給出了尋找不大於給定的自然數N的全部素數的“篩法”：在寫出從1到N的全部整數的草紙上，依次挖去2、3、5、7……的倍數（各自的2倍，3倍，……）以及1，在這篩子般的草紙上留下的便全是素數了。
當兩個整數之差能被正整數m除盡時，便稱這兩個數對於“模”m同餘。我國《孫子算經》（公元4世紀）中計算一次同餘式組的“求一術”，有“中國剩餘定理”之稱。13世紀，秦九韶已建立了比較完整的同餘式理論——“大衍求一術”，這是數論研究的內容之一。
丟番圖的《算術》中給出了求x2＋y2＝z2所有整數解的方法。費爾馬則指出xn＋yn＝zn在n＞3時無整數解，對於該問題的研究產生了19世紀的數論。之後高斯的《數論研究》（1801年）形成了係統的數論。
數論的古典內容基本上不借助於其他數學分支的方法被稱為初等數論。17世紀中葉以後，曾受數論影響而發展起來的代數、幾何、分析、概率等數學分支，又反過來促進了數論的發展，出現了代數數論、幾何數論（研究直線坐標係中坐標均為整數的全部“整點”——“空間格網”）。19世紀後半期出現了解析數論，用分析方法研究素數的分布。20世紀出現了完備的數論理論。
5.抽象代數
哈密頓（Hamilton，W.R.）在1843年發明了一種使乘法交換律不成立的代數——四元數代數。1843年10月16日，他和妻子沿著皇家運河散步時，突然一個念頭像閃電般出現，即，這麼樣處理四元數a＋bi＋cj＋dk中i、j、k三者的乘積：i2=j2=k2=ijk=-1。
他是那麼的興奮，於是用小刀在布爾罕橋上的石頭刻上最初出現的公式。四元數在數學史上的重要性在於：把代數學從束縛於實數算術的傳統中解放出來。
第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的幾類代數。1857年，凱雷設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數（也叫近世代數）的大門。實際上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定代之以別的假定（與其餘假定是相容的），就能研究出許多種代數體係。
1870年，克隆尼克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開始使用“體”的說法，並研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；狄德金和克隆尼克創立了環論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體係的研究，開創了抽象代數學。