an1+a1+a2+a3+…+an-1+1=1+a1+a2+a3+…+an-1+an1+a1+a2+a3+…+an-1=22-an.
將上麵n個等式相加得：
a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1+n
=22-a1+22-a2+…+22-an
即
y+n=∑ni=122-ai=2∑ni=112-ai（其中i=1，2，…，n）.
又因為，故由推論二可得
∑ni=12-ai·∑ni=112-ai≥n2即2n-1·y+n2≥n2.
所以有yn2n-1，等號當且僅當a1=a2=…=an=1n時成立，所以y有最小值n2n-1.
3.3應用推論三
例3求證：a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≥a+b+c，其中a，b，c為ΔABC的三邊。
證明：設x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，
因為a，b，c為ΔABC的三邊，所以x>0，y>0，z>0且x+y+z=a+b+c，即
xa+b+c+ya+b+c+za+b+c=1。
故
a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c=a2x+b2y+c2z
=1a+b+ca2xa+b+c+b2ya+b+c+c2za+b+c，
則由推論三得
a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c1a+b+c（上轉第282頁）
（a+b+c）2=a+b+c，
故原不等式得證.
3.4應用推論四
例4已知正數a，b，c滿足a+b+c=1，求證：a3+b3+c3≥a2+b2+c23
證明：由於正數a，b，c滿足a+b+c=1，故由推論四可得：
a2+b2+c2=3·13a2+13b2+13c2
≥3·13a+13b+13c2
=3·a+b+c32
=13，
而a3+b3+c3=a·a2+b·b2+c·c2，故由推論四可得
a3+b3+c3≥a·a+b·b+c·c2
=a2+b2+c22
=a2+b2+c2a2+b2+c2.
綜上所述，a3+b3+c3≥13·a2+b2+c2.故原不等式得證.（作者單位：雲南大學數學係）
參考文獻：
[1]謝躍進.柯西不等式應用探討[J].銅仁職業技術學報（自然科學版）.2008，6（6）：59.
[2]蔡玉書.應用柯西不等式證明競賽中的不等式[J].數學通訊，2010（4）：58.
[3]歐華.柯西不等式的兩個推論[J].數學大世界，2002（9）.