從噗噗噔兒到非線性
噗噗噔兒，是一種甩玻璃吹製而成的玩具。吹製的辦法是，先將玻璃拉成一根管子，然後將它的端部吹成一個球，最後趁玻璃還軟，在一個微凸的平麵上一摁，使底平麵略向內凹，待冷卻後即成。通常多為暗紅色或紅褐色。圖1（b）是清朝同治光緒年間民間藝人畫的彩色畫“北京民間風俗百圖”中的“賣琉璃喇叭圖”，圖中左筐上邊即有幾隻噗噗噔，它的形狀如圖1（a）。圖1（c）則是40年代的一張民俗剪紙，右筐上也插著幾隻噗噗噔。據日本學者林謙三的考證，噗噗噔大約在江戶時代（1603～1867年）傳入日本，稱之為鼓璫（poppen）並附有一張插圖（圖1（d））。
由於它的底薄如蟬翅，且略凹，玩的時候對著管端輕輕吹氣，當內部氣壓略大時，底兒便變形而突然外凸，隨之噗地一響；然後再吸氣，隨著內部壓力減小，底兒又噗地一響變為向內凹，這樣一吹一吸，便響個不停，很好玩。
但是，由於這種玩具很易破碎，不小心能夠劃破皮膚，再加上新的電子玩具的出現，所以近幾十年來生產很少了。早年它卻很流行。它的名稱很多，北京一帶也稱不不登、倒掖氣、倒掖器、響葫蘆；山西一帶則稱咯嘣兒、琉璃咯嘣兒；廣東一帶稱料泡等。
噗噗噔兒在中國發明得相當早，在明末劉侗、於奕正合寫的《帝京景物略》中有記載：“別有銜而噓吸者，大聲（hǒng），小聲唪唪（běng），曰倒掖氣。”可見它的發明當不晚於明末。書中還記有一首兒歌，現錄在下麵：
倒掖器，如瓶落階瓶倒水。
勻勻呼吸吹薄紙，吸少呼多瓶脫底。
藏爹錢瞞爹眼裏，迷糊琉璃廠甸子。
兒迷糊，倒掖器，爹著汗，嬤著淚。
這首兒歌的大意是：倒掖器玩起來，它發出的聲音有如瓦盆掉在台階上或小口瓶往出倒水，由於它很不結實，所以必須均勻地吹吸，就像吹一張薄紙一樣，一不小心就會將底吹脫落，很容易吹壞。歌的後半闋是說一個淘氣的小孩背著爹媽拿了錢去逛琉璃廠、廠甸，買倒掖器玩，結果害得爹為了尋他而汗流夾背，老媽媽急得哭泣。這裏“迷糊”有迷戀與糊塗雙關的意思。
時間上大約是噗噗噔兒發明稍後，英國人虎克（R.Hooke，1635～1703年）在1660年發現了一條定律，並且於1676年發表了。這就是現在中學教科書上說的虎克定律，即：在材料的彈性極限內，彈性物體所受的力與變形成正比。如果用p代表外力，d代表變形量，則虎克定律可以表示成p=kd，這裏k是與p和d都沒有關係的常數。比虎克略早的法國數學家笛卡兒（Descartes，1596～1650年），在他41歲時，即1637年，發表了他的名著《幾何學》，也就是後來解析幾何的最早起源。書中認為在平麵上建立了坐標係，任何一個兩個變數的方程可以對應於平麵上的一個圖形。有了這個方法，虎克就可以將他的外力與變形的關係畫在圖上，結果是一條直線，所以後來也將虎克所描述的這種外力與變形的關係稱作線性關係。
虎克搜羅了他當時所能收集的許多例子加以研討，結果都符合“線性關係”。其中有：螺旋彈簧，外力是拉力，變形是伸長；鍾表發條，外力是中心軸的力矩，變形是中心軸旋轉過的角度；一根懸吊的長長的線，外力是拉力（下端的重物），變形是伸長；木製的一端固定，另一端自由的梁（懸臂梁），外力是自由端所懸重量，變形是自由端鉛直位移（撓度）。在所有這些例子中，“線性規律”都是成立的。據國防科技大學老亮教授考證，在我國東漢經學家鄭玄（公元127～200年）在《考工記》注中，通過對弓的試驗的注中，就已經有外力與變形成正比的記載。比虎克早了1400多年。
噗噗噔兒雖然發明得比虎克出生還要早，可惜由於當時中西交通的阻隔，虎克小時候肯定沒玩過這玩藝兒，否則他在總結他的定律時，恐怕要困惑不解了。如果將噗噗噔兒也看作一個在外部力作用下的變形物體，這裏外力是內部空氣的壓強減去大氣壓，變形可以用圓形底部中心的位移來量，不妨設底部為平的時，變形為零。這時，外力與變形的關係不再是一根直線，而要複雜得多。
對於噗噗噔兒的外力變形曲線來說，也可以將它畫在平麵上，令水平坐標表示變形d，鉛直坐標表示壓力p，圖2曲線ABODC即是。設未吹氣時，噗噗噔的狀態處於A點，這時d是負的，表示底向內凹。隨著吹氣使內部壓力增高，底也逐漸向外移動，當內部力P增加時，於是便使噗噗噔的狀態到達B點。我們看到從B點，變形曲線是伸向BO段，但這一段上，壓力必須下降，實際上我們還在繼續吹它，不可能下降，於是噗噗噔的底部中心便直接跳向C點，然後若增加壓力再沿DC段往上去。從B跳到C，噗噗噔的底兒瞬時便從凹形跳到凸形，發出一個清脆的響聲。在B點，噗噗噔的狀態發生突然變化，所以我們稱B點為臨界點。