＝limb→+∞1earctaneb-x-1earctan1＝π4e
四、預測試題測試
［能力提高］
了解廣義積分收斂與發散的概念；掌握計算廣義積分的基本方法；了解廣義積分
∫+∞a1xpdx和∫a01xpdx(a＞0)的收斂與散的條件.
習題52
一、討論下列積分的收斂性
1∫+∞π2cosxx1+x2dx.2∫101xsin1xdx.
3∫+∞0x321+x2dx.4∫π01sinλxdx.
5∫+∞-11x2+31+x4dx.6∫+∞01(1+ex)2dx.
二、計算下列廣義積分
1∫+∞2π1x2sin1xdx.2∫0-∞arctanx1+x2dx.
2∫+∞21-lnxx2dx.4∫e11xlnxdx.
5∫101x(1-x)dx.6∫2-2min1｜x｜，x2dx.
［延伸拓展］
三、當k為何值時，積分∫+∞2dxx(lnx)k收斂?
四、已知limx→+∞x+cx-cx=∫c-∞te2tdt，求常數c.
五、討論∫π20dxsinpxcosqx的收斂性.
六、證明∫+∞0lnx1+x2dx=0.
［真題演練］
七、(00年)計算I＝∫＋∞1dxe1+x+e3-x
答案與提示
一、討論下列積分的斂散性
1收斂2收斂3發散
4λ＜1時收斂5收斂6收斂
二、計算下列廣義積分
112-18π23-12ln2
425π623+2ln2.
三、k＞1時，收斂
四、c=52
五、0＜p，q＞1時，廣義積分收斂
六、提示：將積分區間分為(0，1］，［1，+∞)並對其中一個積分做置換x=1t.
七、π4e－2
§5.3定積分應用
一、熟知考綱考點
會利用定積分計算平麵圖形的麵積和旋轉體的體積，會利用定積分求解簡單的經濟應用問題。
二、本節知識串講
1理解並掌握定積分的微元法
若某一實際問題中所求量U符合下列條件：
(1)U是與一個變量x的變化區間［a，b］有關的量；
(2)U對於區間［a，b］具有可加性；
(3)部分量ΔUi可近似表示為f(ξi)Δxi，其中f(x)為區間［a，b］上的已知連續函數，則所求量U=∫baf(x)dx.
這種方法稱為定積分的微元法，dU=f(x)dx稱為U的微元.
2熟煉掌握定積分在幾何上的應用
(1)平麵圖形的麵積：
①若D=(x，y)｜φ1(x)≤y≤φ2(x)，a≤x≤b，則
S=∫baφ2(x)-φ1(x)dx.
②若D=(x，y)｜f1(y)≤x≤f2(y)，c≤y≤d，則
S=∫dcf2(y)-f1(y)dy.
③若D=(ρ，θ)｜ρ1(θ)≤ρ≤ρ2(θ)，α≤θ≤β，則
S=12∫βαρ22(θ)-ρ21(θ)dθ.
這裏(ρ，θ)為極坐標.
(2)特殊立體的體積：
①設通過點x且與x軸垂直的平麵截立體所得截麵麵積為A(x)(a≤x≤b)，則立體體積為
V=∫baA(x)dx.
②y=f(x)(a≤x≤b)與x軸所圍平麵圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積為
Vx=π∫baf2(x)dx=π∫bay2dx.
③x=φ(y)(c≤y≤d)與y軸所圍平麵圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積為
Vy=π∫dcφ2(y)dy=π∫dcx2dy.
(3)平麵曲線的弧長.
設曲線τ的方程為
①y=f(x)(a≤x≤b)則τ的弧長
l=∫ba1+f′2(x)dx.
②x=φ(t)，y=f(t)，α≤t≤β，則τ的弧長
l=∫βαφ′2(t)+f′2(t)dt.
③ρ=ρ(θ)，α≤θ≤β，(ρ，θ)為極坐標，則τ的弧長
l=∫βαρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ.
三、能力、思維、方法
［能力素質］
1微元法
例1用微元法證明把質量為m的物體從地球表麵升高到h處做的功為
W=kmMhR(R+h)，
其中k是引力常數；M是地球質量；R是地球半徑.
證由萬有引力定律F=kmMr2.
把高處h質量為m的物體升高dh的功元素為
dW=Fdh=kmM(R+h)dh，
所以，把質量為m的物體從地麵升至高h處所作的功為
W=∫h0kmM(R+h)2dh=kmM-1R+hh0=kmMhR(R+h).
例2證明：由平麵圖形0≤a≤x≤b，0≤y≤f(x)，繞y軸旋轉所成的旋轉體體積為V=2π∫baxf(x)dx，其中f(x)在［a，b］上連續.
證如圖51所示，選取x為積分變量，且a≤x≤b，圖中陰影部分的麵積ds=f(x)dx，它繞y軸旋轉而成的圖形是以f(x)為高、半徑為x、厚度為dx的圓柱筒，其體積微元dv=2πxf(x)dx，在［a，b］上積分，有V=2π∫baxf(x)dx.
［激活思維］
2平麵圖形的麵積.
例3求拋物線y=x2-1與直線y=x+1所圍圖形的麵積.
解作圖如圖52所示.
再求兩曲線的交點，即解方程組y=x2-1
y=1+x.
得交點(-1，0)，(2，3).
因此，所求麵積為S=∫2-1(1+x)-(x2-1)dx
=(2x+x22-x33)2
-1=92.
例4求由參數方程x=2t-t2，y=2t2-t3(0≤t≤2)所給曲線所圍成圖形的麵積.
解作圖如圖53的示.所求麵積為
S=-∫20y(t)x′(t)dt=-∫20(2t2-t3)2(1-t)dt=815.
例5求曲線r1=acosθ與r2=a(cosθ+sinθ)所圍圖形公共部分的麵積.
解作圖如圖54所示.易求得α=-π4，β=π2，圖中陰影部分即為所求區域的麵積
S=12∫0-π4r2(θ)2dθ+12∫π20［r1(θ)］2dθ
=a22∫0-π4cosθ+sinθ2dθ+a22∫π20cos2θdθ
=a22θ-cos2θ20
-π4+a2212(θ-sin2θ)π2
0
=a2(π-1)4.
例6求由拋物線y2=4ax與過焦點的弦所圍成的圖形麵積的最小值(a＞0).
解取弦的斜率(不妨k＞0)為參數，則過焦點(a，0)的弦的方程為
y=k(x-a).
先求拋物線與弦的交點，解方程組：
y2=4ax；
y=k(x-a)，
即解ky2-4ay-4ka2=0.可得
y1=2a1-1+k2k，y2=2a1+1+k2k.
所以拋物線與弦的交點為y214a，y1，y224a，y2，故拋物線與弦所圍圖形在直線y=y1與y=y2之間，如圖55
取y為積分變量，其變化區間為［y1，y2］，所圍圖形的左曲線為x=y24a，右曲線為x=yk+a.於是所圍圖形的麵積為
S(k)=∫y2y1yk+a-y24ady=y22k+ay-y312ay2y1
=8a231+1k232，k＞0.
容易看出S(k)在(0，+∞)上單調減少，故麵積的最小值為
S=limk→+∞S(k)=8a23.
此時，過焦點的弦的方程為x=a.
3立體體積與平麵曲線之弧長
例7一平麵過半徑為R的圓柱體的底圓中心，並與底麵交成角α(如圖56所示)，求該平麵截圓柱體所得立體的體積.
解取這平麵與圓柱體的底麵的交線為x軸，底麵上過圓中心，垂直於x軸的直線為y軸，則底圓的方程為x2+y2=R2.立體過點x且垂直於x軸的截麵是一個直角三角形，它的兩條直角邊的長分別為y和ytanα，即R2-x2和R2-x2tanα.因而截麵積A(x)=12R2-x2tanα，於是所求立體體積為
V=∫R-R12(R2-x2)tanαdx=12tanαR2x-13x3R-R=23R3tanα.
例8在曲線y=x2(x≥0)上某點處作切線，使該曲線的切線與x軸所圍成圖形的麵積為112，求切點坐標、切線方程，並求此圖形繞x軸旋轉所成立體的體積.
解設切點的橫坐標為x=a，則切線方程為
y-a2=2a(x-a)(a＞0).
由題設，選取y為積分變量，則
S=∫a20y+a22a-ydy=112，
求上述積分，並整理得112a3=112，於是a=1.
因此所求切點坐標為(1，1)，切線方程為y=2x-1.
同時有V=π∫10x4dx-π∫112(2x-1)2dx=π5-π6=π30.
例9設平麵圖形A由x2+y2≤2x與y≥x所確定，求圖形A繞直線x=2旋轉所得旋轉體的體積.
解圖形A如圖57所示的陰影部分.選取y為積分變量，於是A的邊界曲線方程為
x=1-1-y2，x=y(0≤y≤1)，
所以，旋轉體體積為
V=π∫102-(1-1-y2)2dy-π∫10(2-y)2dy
=π∫10(2+21-y2-y2)dy-π∫10(4-4y+y2)dy
=2π+2ππ4-13π-73π
=12π2-23π.
例10證明橢圓x2a2+y2b2=1的弧長等於正弦曲線y=csinxb(c=a2-b2，a＞b＞0)一波之長.
證先求橢圓弧長S1.由橢圓參數方程x=acost；
y=bsint，(0≤t≤2π)得
S1=4∫π20(-asint)2+(bcost)2dt.
注意到a2=b2+c2.並令t=π2-τ，有
S1=4∫π20b2+c2sin2tdt=4∫π20b2+c2cos2τdτ.
又由於正弦曲線y=csinxb的一波對應於區間0≤x≤2πb，故其一波之長為
S2=4∫bπ201+cbcosxb2dx.
令x=bτ，則S2=4∫π201+c2b2cos2τbdτ=4∫π20b2+c2cos2τdτ，
所以S1=S2.
例11求曲線弧r=asin3θ3(0≤θ≤3π)的長.
解因為r=asin3θ3.
所以r2(θ)r′2(θ)=asin2θ3.故所求弧長為
S=∫3π0asin2θ3dθ，令θ=3t，則
S=3a∫π0sin2tdt=6a∫π20sin2tdt=32πa.
［真題在線］
例12(98年)設直線y＝ax與拋物線y＝x2所圍成圖形的麵積為S1，它們與直線x＝1所圍成圖形的麵積為S2，並且a＜1.
(1)試確定a的值，使S1＋S2達到最小，並求出最小值；
(2)求該最小值所對應的平麵圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積.
分析為解決(2)首先要求出(1)中的a.為求a，須根據0＜a＜1，和a≤0兩種情況分別求出對應的S1和S2，利用導數方法判定S1+S2的極小值點，然後比較兩種情況下的S1+S2的最小值，從而確定a.
解(1)當0＜a＜1時(如圖5-8)
S＝S1＋S2
＝∫a0(ax-x2)dx+∫1a(x2-ax)dx
＝a33-a2+13
令S′＝a2－12,得a＝12,又S″(12)＝2＞0，則S(12)是極小值即最小值，其值為
S(12)＝162－122－13＝2-26當a≤0時(如圖5-9)
S＝S1+S2
＝∫0a(ax-x2)dx+∫10(x2-ax)dx
＝－a36-a2+13
S′＝－a22-12＝－12(a2+1)＜0
S單調減少，故a＝0時，S取得最小值，此時S＝13，綜上所述，a＝12時S(12)為所求最小值，最小值為2-26.
(2)Vx＝π∫120(12x2-x4)dx+π∫112(x4-12x2)dx
＝2+130π
四、預測試題測試
［知識掌握］
會利用定積分計算平麵圖形的麵積和旋轉體的體積.
習題53
1求曲線x25+y25=1的弧長.
2求(x+3)2+y2=1繞y軸旋轉所得旋轉體的體積.
3求四葉玫瑰線r=acos2θ所圍圖形的麵積.
4求y=π4，y=arcsinx及其過點-22，-π4的切線所圍成的圖形的麵積.
5求擺線一拱x=a(t-sint)
y=a(1-cost)(0≤t≤2π)與x軸圍成的圖形繞圖形的對稱軸旋轉而成的立體體積.
6(96年)已知一拋物線通過x軸上的兩點A(1，0)、B(3，0)
(1)求證：兩會標軸與該拋物線所圍圖形的麵積等於x軸與該拋物線所圍圖形的麵積.
(2)計算上述兩個平麵圖形繞x軸旋轉一周所成的兩個旋轉體積之比.
答案與提示
15+5ln(2+3)2326π23πa22
4π1-π4225π6a3(9π2-16)
6(2)198