第一章函數、極限與連續
§1.1函數
一、熟知考綱考點
1理解函數的概念，掌握函數的表示法.
2了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性.
3理解複合函數、反函數、隱函數和分段函數的概念.
4掌握基本初等函數的性質及其圖形，理解初等函數的概念.
5會建立簡單應用問題中的函數關係式.
二、本節知識串講
1.函數
函數定義：設有兩個變量x和y，如果當變量x在其變化範圍內任取一值時，變量y按一定的法則總有確定的數值和它對應，就稱y是x的函數，記作y=f(x).
基本初等函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數.
複合函數：設函數y=f(u)，而u=φ(x)，且φ(x)的函數值的全部或部分在f(u)的定義域內，那麼，y成為x的函數：y=f［φ(x)］.
這個函數稱為由函數y=f(u)及u=φ(x)複合而成的複合函數.
初等函數：由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數複合所構成的並可用一個式子表示的函數.
分段函數：如果一個函數在其定義域內對應於不同的區間段有不同的表達形式，則該函數稱為分段函數.
注：①一般來講，分段函數不是初等函數.
②讀者今後還將遇到隱函數及由參數方程所確定的函數.
③讀者在學習“複合函數”時，不但要掌握初等函數的複合及構成複合函數的條件，更應掌握複合函數分解為基本初等函數的方法.此外，還應掌握反函數等概念.
2.函數的二要素
①定義域：使函數表達式有意義的自變量的取值範圍.
②對應法則：給定自變量的值，求函數對應值的方法.
注：當兩個函數的二要素相同時，這兩個函數相等.
3.求函數的定義域的要點
①分式的分母不等於零；
②偶次根式內的根底式為非負實數；
③對數的真數表示式必須為正數；
④arcsinx或arccosx中，其表達式x應滿足｜x｜≤1；
⑤tanx中，其表達式x應滿足x≠kπ+π2，cotx中，其表達式x應滿足x≠kπ.
4.函數的基本性質
(1)奇偶性：若對於任給的x∈X，有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是X上的偶函數；
若對於任給的x∈X，有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是X上的奇函數.
注X是關於坐標原點對稱的區間，否則在X上討論函數的奇偶性無意義.偶函數的圖象關於y軸對稱，奇函數的圖象關於原點對稱.
(2)周期性：若對於任給的x∈X，存在常數T，使f(x+T)=f(x)，則稱f(x)是以T為周期的周期函數，把滿足上式的最小正數T稱為函數f(x)的周期.
(3)有界性：若y=f(x)在區間X上有定義，且存在常數M＞0，使｜f(x)｜≤M成立，則稱f(x)在X上有界；否則，若不存在這樣的常數M，則稱f(x)在X上無界.
(4)單調性：若y=f(x)在區間X上有定義，對於任給的x1，x2∈X，當x1＞x2時，恒有f(x1)(＜)＞f(x2)，則稱y=f(x)在區間X上是單調增加(減少)的.
三、典型例題與解題方法和技巧
例1設f(x)=110-x+ln(x-1)+arccos2x-15.求f(x)的定義域.
分析先按求函數定義域的要點，建立不等式組，然後解此不等式組，求出f(x)的定義域.
解因為10-x＞0，
x-1＞0，
2x-15≤1，即x＜10，
x＞1，
-5≤2x-1≤5，得1＜x≤3.
所以f(x)的定義域為1＜x≤3.
［解法總結］求複雜函數的定義域，就是求解由簡單函數的定義域所構成的不等式組的解集.
例2設f(x)=x-1，0≤x＜2，
2，2≤x≤4.求f(2x+4)的定義域.
分析應先求出f(2x+4)的表達式.
解f(2x+4)=2x+4-1，0≤2x+4＜2，
2，2≤2x+4≤4.
即f(2x+4)=2x+3，-2≤x＜-1，
2，-1≤x≤0.
所以f(2x+4)的定義域是［-2，0］.
［應試陷阱］在求f(2x+4)的過程中，應將f(x)中的x全部換成2x+4.如果隻換等號後的x，而不換定義域表示中的x，即犯如下錯誤：
f(2x+4)=2x+4-1，0≤x＜2，
2，2≤x≤4.
例3設f(x)的定義域為［1，3］，則f(x2)+f(x)的定義域為()
(A)［1，3］(B)［1，3］
(C)［-3，3］(D)［-3，-1］∪［1，3］
分析函數和的定義域等於各函數定義域之交.
解∵f(x)的定義域為［1，3］，
∴f(x2)+f(x)的定義域為
1≤x2≤3
1≤x≤3，即1≤x≤3或-3≤x≤-1，
1≤x≤3.
故為1≤x≤3，所以正確答案為(B).
例4下列各組中f(x)與g(x)是相同函數的組是().
(A)f(x)=ln2x，g(x)=ddx∫x0｜lnt｜dt
(B)f(x)=lnx2，g(x)=2lnx
(C)f(x)=｜x｜x，g(x)=1(x≠0)
(D)f(x)=sinarcsinx，g(x)=(x)2
分析由函數的二要素判斷兩個函數是否相同.
解(A)中f(x)=ln2x=｜lnx｜，g(x)=ddx∫x0｜lnt｜dt=｜lnx｜，且定義域都是x＞0，所以(A)符合題意；
(B)中f(x)，g(x)的定義域分別為(-∞，0)∪(0，+∞)和(0，+∞)，定義域不同，不符合題意；
(C)中f(x)=1，x＞0，-1，x＜0.故與g(x)=1的對應關係不同，不符合題意；
(D)中f(x)，g(x)的定義域分別為［-1，1］和［0，+∞］，定義域不同，不符合題意.
例5判斷f(x)=(2+1)x+(2-1)x的奇偶性.
分析為了討論f(x)的奇偶性，應先求f(-x)，再比較f(-x)與f(x)的關係.
解因為f(-x)=(2+1)-x+(2-1)-x=1(2+1)x+1(2-1)x
=(2-1)x［(2+1)(2-1)］x+(2+1)x［(2-1)(2+1)］x
=(2-1)x+(2+1)x=f(x)
所以f(x)=(2+1)x+(2-1)x是偶函數.
［解法總結］判定一個函數f(x)是偶函數，可以用f(-x)=f(x)，也可以用f(-x)-f(x)=0；同樣，判定一個函數是奇函數，可以用f(-x)=-f(x)，也可以用f(-x)+f(x)=0，有時，後者更為簡捷.
例6證明f(x)=ln(x+1+x2)是奇函數.
證∵f(-x)=ln(-x+1+x2)，
∴f(x)+f(-x)=ln(x+1+x2)+ln(-x+1+x2)
=ln(x+1+x2)(-x+1+x2)=ln1=0，
從而f(x)=ln(x+1+x2)是奇函數.
例7f(x)=sinx，0≤x≤π；是周期函數嗎?是奇函數嗎?
解f(x)=sinx，0≤x≤π；不是周期函數.因為判斷一個函數是否是周期函數，必須考察這個函數的定義域是什麼；並且在這個定義域上是否存在常數T，使f(x+T)=f(x)成立.
又由於f(x)=sinx，0≤x≤π；的定義域不關於x=0對稱，所以該函數不是奇函數.
［激活思維］
例8證明f(x)=x1+x在［0，+∞)上有界，並且在［0，+∞)上單調增加，並由此證明：
｜a+b｜1+｜a+b｜≤｜a｜1+｜a｜+｜b｜1+｜b｜.
分析討論單調性，應考察f(x2)-f(x1)的符號，其中x2＞x1≥0.
證∵x∈［0，+∞)，∴0≤x1+x=(1+x)-11+x=1-11+x＜1.
故f(x)=x1+x在［0，+∞)上有界.
任給x1，x2滿足0≤x1＜x2＜+∞，
因為
f(x2)-f(x1)=x21+x2-x11+x1=x2-x1(1+x2)(1+x1)＞0，
所以f(x)=x1+x在［0，+∞)上單調增加.
取x1=｜a+b｜，x2=｜a｜+｜b｜，由於0≤x1≤x2，
所以f(x1)≤f(x2).即
｜a+b｜1+｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜1+｜a｜+｜b｜=｜a｜1+｜a｜+｜b｜+｜b｜1+｜a｜+｜b｜
≤｜a｜1+｜a｜+｜b｜1+｜b｜.
［解法總結］在證明函數的有界性與單調性時，往往需要利用不等式的放大縮小法.
例9求y=1+x-11+x+1的反函數.
分析求反函數的步驟：
(1)將方程y=f(x)改寫為以y表示x的形式，即把x從方程y=f(x)中解出來.
(2)在所得到的以y表示x的表達式中，對換x與y，所得的表達式就是所要求的反函數f-1(x).
解由y=1+x-11+x+1，得(y-1)1+x=-(y+1)，即1+x=1+y1-y，
∴x=1+y1-y2-1，得x=4y(1-y)2，
所以所求的反函數為y=4x(1-x)2.
例10設y=f(x)=1+x，x＜2，x2-1，x≥2，則其反函數y=f-1(x)為().
(A)1-x，x＜3，(x+1)2，x≥3；(B)x-1，x＜3，
x+1，x≥3；(C)1-x，x＜2，
(x+1)2，x≥2；(D)x-1，x＜2，x+1，x≥2.
分析求分段函數的反函數，必須分別求出各區間段的反函數及定義域.
解由y=1+x，x＜2，得x=y-1，y＜3；
由y=x2-1，x≥2，得x=y+1(∵x≥2)，y≥3.
所以y=f-1(x)=x-1，x＜3，
x+1，x≥3.
故答案應選(B).
例11設f(x)=11-x，求f(f(x))，f(f(f(x))).
分析初等函數的複合，往往直接代入，並注意化簡及定義域.
解f(f(x))=11-f(x)=11-11-x=x-1x=1-1x(x≠0，x≠1).
f(f(f(x)))=11-f(f(x))=11-(1-1x)=x(x≠0，x≠1).
例12設f(x)=1，｜x｜＜1，0，｜x｜=1，-1，｜x｜＞1，g(x)=ex，求f［g(x)］，g［f(x)］.
分析在討論初等函數與分段函數的複合，或分段函數與分段函數的複合時，應注意內層函數的函數值應使外層函數有意義.
解當x＜0時，｜g(x)｜=ex＜1，故f［g(x)］=1；
當x=0時，g(0)=e0=1，故f［g(0)］=0；
當x＞0時，｜g(x)｜=ex＞1，故f［g(x)］=-1.
綜上可得：f［g(x)］=-1，x＞0，
0，x=0，
1，x＜0.
又因為g［f(x)］=ef(x)，
所以g［f(x)］=e，｜x｜＜1，
1，｜x｜=1，
e-1，｜x｜＞1.
例13設f(x)=ex，x＜1，
x，x≥1，g(x)=x+1，x＜0，
x2-1，x≥0.，求f［g(x)］.
解因為f［g(x)］=eg(x)，g(x)＜1
g(x)，g(x)≥1.
當g(x)＜1時：
或x＜0，g(x)=x+1＜1，即x＜0，
或x≥0，g(x)=x2-1＜1，即x≥0，
x2＜2，有0≤x＜2；
當g(x)≥1時：
或x＜0，g(x)=x+1≥1，即x＜0，
x≥0.矛盾.
或x≥0，g(x)=x2-1≥1.即x≥0
x2≥2，即x≥2.
綜上所述：
f(g(x))=ex+1，x＜0，
ex2-1，0≤x＜2，
x2-1，x≥2.
初等函數是微積分研究的主要對象，讀者必須熟練掌握將初等函數分解成由基本初等函數和四則運算而成的形式.
例14將下列函數分解成基本初等函數的複合及四則運算的形式.
(1)y=arctan32x1-x2；(2)y=(x3+ex)cos1x-1.
分析將初等函數分解為基本初等函數的複合函數時，應牢固掌握基本初等函數的類型，采取由外層函數向內層函數進行分解的順序，將函數分解.
解(1)注意到冪函數是基本初等函數，
令u=arctanv，v=2x1-x2，
所以y=arctan32x1-x2由下列各函數複合而成：
y=u3，u=arctanv，v=2x1-x2.
(2)令u=(x3+ex)cos1x，則y=u-1，
又令v=x3+ex，w=cost，t=1x，
則有y=u-1，u=vw，v=x3+ex，
w=cost，t=1x.
下麵我們討論用初等方法求解函數方程.
例15設f(0)=0，且x≠0時，f(x)滿足：af(x)+bf(1x)=cx(a，b，c為常數，｜a｜≠｜b｜)證明：f(x)為奇函數.
分析要證明f(x)是奇函數，最直接的方法是求出f(x)的解析表達式.
證當x≠0時，令x=1t，有af(1t)+bf(t)=ct，
即af(1x)+bf(x)=cx.將其與af(x)+bf(1x)=cx聯立，消去f(1x)，有：f(x)=1a2-b2(acx-bcx)
顯然x≠0時，f(-x)=-f(x)，又f(0)=0，
所以f(x)是奇函數.
例16若f(x)滿足f(x+T)=kf(x)，x∈(-∞，+∞)，(k，T為正常數)，證明：f(x)=axφ(x)，其中a為常數，φ(x)以T為周期.
分析欲證f(x)=axφ(x)，隻需證明存在常數a，使f(x)ax(=φ(x))是周期函數.由條件f(x+T)=kf(x)可以看出a應取：k=aT.
證取k=aT，即a=k1T.
由f(x+T)=kf(x)，有f(x+T)=aTf(x).
即f(x+T)ax+T=f(x)ax.
所以φ(x)=f(x)ax是以T為周期的周期函數.
［真題在線］
例17(99年，數學一，數學二，數學三，數學四)設f(x)是連續函數，F(x)是f(x)的原函數，則
(A)當f(x)是奇函數時，F(x)必是偶函數
(B)當f(x)是偶函數時，F(x)必是奇函數
(C)當f(x)周期函數時，F(x)必是周期函數
(D)當f(x)是單調增函數時，F(x)必是單調增函數
證令f(x)＝csox+1,F(x)＝sinx+x+1,
顯然，f(x)是偶函數和周期函數，但F(x)不是奇函數，也不是周期函數，則(B)、(C)均不正確。
若令f(x)＝x,F(x)＝12x2，則f(x)單調增加，但F(x)不是單調增加，因此，(D)也不正確，所以選(A)。
例18(92年)已知f(x)＝sin,f［Φ(x)］＝1－x2，則Φ(x)＝的定義域為。
應填arcsin(1-x2)，－2≤x≤2
解由f(x)＝sinx知，f［Φ(x)］＝sinΦ(x)＝1-x2,則Φ＝rcsin(1-x2),而-1≤1-x2≤1,所以-2≤x2
［知識掌握］
四、預測試題測試
掌握函數概念及函數的幾種基本特性；熟練掌握複合函數及其複合過程；掌握分段函數及分段函數的變形或複合.
習題11
一、單項選擇題
1下列各組中f(x)與g(x)是相同函數的組是().
(A)f(x)=x2，g(x)=x(B)f(x)=x+1，g(x)=x2-1x-1
(C)f(x)=lnx2，g(x)=2ln｜x｜(D)f(x)=1，x≥0
-1，x＜0g(x)=｜x｜x
2設f(x)=1，1e＜x＜1；
x，1≤x＜e；g(x)=ex，則f［g(x)］=().
(A)1，1e＜x＜1
ex，1≤x＜e(B)1，-1＜x＜0
ex，0≤x＜1
(C)ex，-1＜x＜0
x，0≤x＜1(D)x，-1≤x＜0
ex，0≤x＜1
3若f(1x)=x+1x2，則f(x)=().
(A)xx+12(B)x+1x2
(C)(1+x)2(D)(1-x)2
4若f(x)的定義域為［1，2］，則f(1-lnx)的定義域為().
(A)［1，1-ln2］(B)(0，1］
(C)［1，e］(D)［1e，1］
5下列函數中，是奇函數的為().
(A)y=x4-x2(B)y=x+x2
(C)y=ex+e-x2(D)y=ex-e-x2
6函數y=sinx1+x2是().
(A)奇函數(B)單調函數
(C)無界函數(D)周期函數
二、填空題
1若f(x)的定義域為(1，2)，則f(x2+1)的定義域為.
2設f(x2+1)=x4+5x2+3，則f(x2-1)=.
3設f(x)與f-1(x)互為反函數，則f［f-1(x)］=.
4y=ln(1+x2)的單調遞減區間是.
5函數y=cos22x的周期為.
［能力提高］
三、計算題
1求y=arccos2x-17x2-x-6的定義域.
2求y=x-1，-∞＜x＜0，
x3，0≤x＜1，
1，1≤x＜+∞的反函數.
3設f(x)+f(x-1x)=2x，且x≠0，x≠1，求f(x).
［延伸拓展］
四、(90年)設函數f(x)＝xtanxesinx，則f(x)是
(A)偶函數(B)無界函數
(C)周期函數(D)單調函數
答案與提示
一、單項選擇題
1(C)2(B)3(C)4(D)5(D)6(A)二、填空題
1(-1，0)∪(0，1)
2x4+x2-3提示：x4+5x2+3=(x2+1)2+3(x2+1)-1.
3x4.(-∞，0)5π2
三、計算題
1［-3，-2)∪(3，4］
2f-1(x)=x+1，-∞＜x＜-1；
3x，0≤x＜1；
1，1≤x＜+∞.
3提示：令t=x-1x，原方程為f(x)+f(11-x)=21-x，再令11-x=u-1u，上述方程變為f(11-x)+f(x-1x)=2(x-1)x，將這三個方程聯立，求得f(x)=x+1x+11-x-1.
四、應選(B)
§1.2極限與連續
一、熟知考綱考點
1了解數列極限和函數極限(包括左極限與右極限)的概念.
2了解無窮小的概念和基本性質.掌握無窮小的比較方法.了解無窮大的概念及其與無窮小的關係.
3了解極限的性質與極限存在的兩個準則.掌握極限的性質及四則運算法則，會應兩個重要極限.
4理解函數連續性的概念(含左連續與右連續).
5了解連續函數的性質和初等函述的連續性.了解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值與最小值定理和介值定理)及其簡單應用
二、本節知識串講
(一)基本概念
1.數列極限
limn→∞xn=A：ε＞0，正整數N，當n＞N時，恒有｜xn-A｜＜ε.
2.函數極限
limx→∞f(x)=A：ε＞0，正數X，當｜x｜＞X時，恒有｜f(x)-A｜＜ε.
類似可定義limx→+∞f(x)=A，limx→-∞f(x)=A.
limx→x0f(x)=A：ε＞0，正數δ，當0＜｜x-x0｜＜δ時，恒有｜f(x)-A｜＜ε.
並且，limx→∞f(x)=Alimx→+∞f(x)與limx→-∞f(x)存在且相等(等於A).
類似可定義左、右極限：f(x0-0)=limx→x0-0f(x)=A，f(x0+0)=limx→x0+0f(x)=A.
3.無窮小
在某一極限過程中，以0為極限的變量稱為無窮小量.即若limx→x0(x→∞)f(x)=0，則稱當x→x0(x→∞)時，f(x)是無窮小量.
4.無窮大
若在自變量的某一變化過程中，｜f(x)｜無限增大，則稱函數f(x)為無窮大量.記為limx→x0(x→∞)f(x)=∞.
類似可定義正(負)無窮大.
注意(1)無窮大實際上是極限不存在的一種情況.
(2)無窮大與無界變量的區別：無窮大量一定是無界變量，但無界變量不一定是無窮大量.例如：y=xsinx是無界變量，但不是無窮大量.
5.無窮大與無窮小的關係
在同一極限過程中，若f(x)為無窮小，且f(x)≠0，則1f(x)為無窮大；若f(x)為無窮大，則1f(x)為無窮小.
6.無窮小的階(無窮小的比較)
設在同一極限過程中，α(x)，β(x)為無窮小，且limα(x)β(x)=l存在.
(1)若l≠0，則稱α(x)與β(x)在該極限過程中為同階無窮小；
(2)若l=1，則稱α(x)與β(x)在該極限過程中為等價無窮小，記為α(x)～β(x)；
(3)若l=0，則稱在此極限過程中α(x)是β(x)高階的無窮小，記為α(x)=o(β(x)).
注意常用的等價無窮小，當x→0時，
sinx～x，arcsinxx，tanxx，
arctanxx，ln(1+x)x，ex-1x，
ax-1xlna，1-cosx12x2，(1+x)α-1αx.
7.函數的連續性
定義1設f(x)在x0及其鄰域內有定義，記Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，若limΔx→0Δy=0，則稱f(x)在x=x0處連續.
定義2若f(x)滿足：
(1)f(x)在x0及其鄰域內有定義；
(2)limx→x0f(x)存在；
(3)limx→x0f(x)=f(x0)，
則稱f(x)在x=x0處連續.