則∑∞n=1un與∑∞n=1vn具有相同的收斂性.本題沒有限定∑∞n=1un與∑∞n=1vn是正項級數，是否還能由∑∞n=1un收斂斷定∑∞n=1vn收斂呢?實際上，這樣的結論已不再成立，比如：
取∑∞n=2un=∑∞n=2(-1)nlnn，∑∞n=2vn=∑∞n=2(-1)nlnn+1n.
則limn→∞unvn=limn→∞(-1)n1lnn(-1)nlnn+1n=limn→∞11+(-1)nlnnn=1，
所以，符合題設中關於limn→∞unvn=1的要求，級數∑∞n=2un是收斂的，而級數∑∞n=2vn不收斂.
本例說明對正項級數成立的比較判別法的極限形式不能用於任意項級數，也就是講，利用題設條件不能斷定級數∑∞n=1vn是收斂的.
［真題在線］
例15(88年)討論級數∑∞n＝1(n+1)!nn+1的斂散性.
分析本題中所給級數是一正項級數，通項中又含有階乘，則應用檢比法.
解limx→+∞an+1an＝limx→+∞(n+2)!(n+1)n+2nn+1(n+1)!
＝limx→+∞(nn+1)n+1·n+2n+1
＝limx→+∞1(1+1n)n·(nn+1)＝1e＜1
則原級數收斂.
例16(88年)設級數∑∞n＝1a2n∑∞n＝1b2n均收斂，求證，∑∞n＝1anbn絕對收斂.
由不等式2ab≤a2+b2可知，應考慮級數∑+∞n＝1｜anbn｜.
證因為｜anbn｜≤12(a2n+b2n)
而∑+∞n＝1a2n和∑+∞n＝1b2n都收斂，則∑+∞n＝112(a2n+b2n)收斂，由比較判別法知∑+∞n＝1｜anbn｜收斂，即∑+∞n＝1anbn絕對收斂.
§7.2冪級數
一、熟知考綱考點
1會求冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域.
2了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項微分和逐項積分)，會求簡單冪級數在其收斂區間內的和函數.
3掌提ex,sinx,cosx,ln(1+x)與(1+x)a冪級數的麥克勞林(Machaurin)展開式，會用它們將一些簡單函數間接展成冪級數.
二、本節知識串講
1函數項級數
(1)定義1：
設u1(x)，u2(x)，…，un(x)，…是定義在區間X上的函數序列，則稱∑∞n=1un(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…為定義在區間X上的函數項級數.
(2)定義2：
設x0∈X，若常數項級數∑∞n=1un(x0)收斂(或發散)，則稱x0為函數項級數∑∞n=1un(x)的收斂點(或發散點).函數項級數∑∞n=1un(x)的收斂點(或發散點)的全體稱為∑∞n=1un(x)的收斂域(或發散域).
(3)定義3：
設｛Sn(x)｝表示∑∞n=1un(x)的前n項和序列，若當x∈X時，limn→∞Sn(x)=S(x)存在，則稱S(x)為∑∞n=1un(x)的和函數.
即S(x)=limn→∞∑nk=1uk(x)=∑∞n=1un(x).
(4)函數項級數∑∞n=1un(x)收斂域的求法：
該收斂域利用比值法或根值法的思想.
2冪級數
(1)定義：
∑∞n=0an(x-x0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+…稱為(x-x0)的冪級數，其中an(n=0，1，…)為常數.
當x0=0時，∑∞n=0anxn=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…稱為x的冪級數
(2)冪級數的收斂半徑及收斂區間：
我們重點考慮∑∞n=0anxn的情形，對於∑∞n=0an(x-x0)n的情況，通過作變換y=x-x0，可將後者轉化為前者.
若冪級數∑∞n=0anxn不是在整個數軸上收斂，也不是僅在x=0處收斂，則必存在正數R，使當｜x｜＜R時，∑∞n=0anxn絕對收斂；當｜x｜＞R時，∑∞n=0anxn發散，則稱R為∑∞n=0anxn的收斂半徑，(-R，R)稱為∑∞n=0anxn的收斂區間；當x=±R時，∑∞n=0anxn可能收斂，也可能發散.冪級數的收斂域為一個區間(開或閉，或半開、半閉).
注意(1)若∑∞n=0anxn隻在x=0處收斂，則規定R=0；若∑∞n=0anxn在整個數軸上收斂，則規定R=+∞.
(2)若∑∞n=0anxn的收斂半徑為R，則∑∞n=0anxn在(-R，R)內絕對收斂.
(3)逐項求導或逐項微分後所得的冪級數的收斂半徑不變(見後述).
(4)收斂域或收斂半徑的求法與函數項級數的情況相同.
3冪級數的和函數
設∑∞n=0an(x-x0)n(在其收斂域內)的前n項和序列為｛Sn(x)｝，若limn→∞Sn(x)=S(x)存在，則稱S(x)為冪級數∑∞n=0an(x-x0)n的和函數.
特別是x0=0時，∑∞n=0anxn的和函數為S(x)=limn→∞Sn(x)=limn→∞∑nk=0akxk=∑∞k=0akxk.
4冪級數的性質
(1)冪級數的四則運算性質：
設有兩個冪級數∑∞n=0anxn=f(x)與∑∞n=0bnxn=g(x)，其收斂半徑分別為R１，R2.令R=min｛R1，R2｝，則對任意x∈(-R，R)有：
①∑∞n=0anxn±∑∞n=0bnxn=∑∞n=0(an±bn)xn=f(x)±g(x)，且在(-R，R)內絕對收斂；
②∑∞n=0anxn∑∞n=0bnxn
=∑∞n=0(a0bn+a1bn-1+…+anb0)xn=f(x)g(x)，且在(-R，R)內絕對收斂；
③設b0≠0，則在x的充分小的鄰域內f(x)g(x)=a0+a1x+…+anxn+…b0+b1x+…+bnxn+…=c0+c1x+c2x2+…+cnxn+….
利用多項式的長除法或待定係數法可得c0=a0b0，c1=a1b0-a0b1b20，……，而級數∑∞h=0cnxn的收斂半徑一般比R小得多.
(2)冪級數的分析性質：
設冪級數∑∞n=0anxn的收斂半徑為R，則在(-R，R)內有：
①∑∞n=0anxn的和函數f(x)連續；
②∑∞n=0anxn可逐項求導(微分)，即f′(x)=∑∞n=0anxn′=∑∞n=0(anxn)′=∑∞n=0nanxn-1，且逐項求導後收斂半徑不變.
③∑∞n=0anxn可逐項積分，即∫x0f(x)dx=∫x0∑∞n=0anxndx=∑∞n=0∫x0anxndx=
∑∞n=0ann+1xn+1，且逐項積分後所得的冪級數的收斂半徑不變.
注意設∑∞n=0anxn的收斂半徑為R，若∑∞n=0anxn在x=R(或x=-R)處收斂，則和函數S(x)在x=R(或x=-R)處左(右)連續，即limx→R-S(x)=∑∞n=0anxn(或limx-R+S(x)=∑∞n=0anRn).
5函數的冪級數展開
該問題相當於求冪級數的和函數的反問題.
(1)泰勒級數與麥克勞林級數：
定義設函數f(x)在x0的某一鄰域內具有任意階導數，則級數∑∞n=0f(n)(x0)n!(x-x0)n=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+…
+f(n)(x0)n!(x-x0)n+…(*)
稱為f(x)在x=x0點處的泰勒級數.
特別是x0=0時，稱級數
∑∞n=0f(n)(0)n!xn=f(0)+
f′(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0)n!xn+…(**)
為f(x)的麥克勞林級數.
注意(1)函數f(x)的冪級數展開式是惟一的；
(2)隻要f(x)在x0的某一鄰域內具有任意階導數，就有級數()式或()式，這裏的級數是否收斂，以及是否收斂於原來的函數f(x)是不知道的.
(2)函數展開成冪級數的條件：
函數f(x)展開成冪級數f(x)=∑∞n=0an(x-x0)n(當｜x-x0｜＜R時)當｜x-x0｜＜R時，級數()收斂於f(x)limn→∞Rn(x)=0，其中
Rn(x)=f(n+1)［x0+θ(x-x0)］(n+1)!(x-x0)n+1，(0＜θ＜1).
6常用函數的冪級數(麥克勞林級數)展開式
(1)ex=∑∞n=0xnn!=1+x+x22!+…+xnn!+…，(-∞＜x＜+∞).
(2)sinx=∑∞n=0(-1)nx2n+1(2n+1)!
=x-x33!+x55!-x77!+…+(-1)nx2n+1(2n+1)!+…(-∞＜x＜+∞).
(3)cosx=∑∞n=0(-1)nx2n(2n)!
=1-x22!+x44!-x66!+…+(-1)nx2n(2n)!+…(-∞＜x＜+∞).
(4)ln(1+x)=∑∞n=1(-1)n-1xnn
=x-x22+x33-x44+…+(-1)n-1xnn+…(-1＜x≤1).
(5)(1+x)α=1+αx+α(α-1)2!x2+…+α(α-1)…(α-n+1)n!xn+…(-1＜x＜1).
該級數在端點x=±1處的收斂性，隨α而定.特別是α=-1時，有
11+x=1-x+x2-x3+…+(-1)nxn+…，-1＜x＜1，
11-x=1+x+x2+x3+…+xn+…，-1＜x＜1.
三、能力、思維、方法
［能力素質］
(一)函數項級數(包括冪級數)∑∞n=1un(x)收斂域的求法
(1)ρ(x)=limn→∞un+1(x)un(x)或ρ(x)=limn→∞nun(x)，求ρ(x)；
(2)從ρ(x)＜1解出∑∞n=1un(x)的收斂區間(a，b)；
(3)討論常數項級數∑∞n=1un(a)與∑∞n=1un(b)的收斂性；
(4)寫出∑∞n=1un(x)的收斂域.
例1設冪級數∑∞n=0anxn的收斂半徑為3，求冪級數∑∞n=1nan(x-1)n+1的收斂區間.
解設y=x-1，則∑∞n=1nan(x-1)n+1=∑∞n=1nanyn+1=y2∑∞n=1nanyn-1=y2∑∞n=1anyn′.
上述過程成立的充要條件是｜y｜＜3，即-3＜x-1＜3，有-2＜x＜4.
所以∑∞n=1nan(x-1)n+1的收斂區間為(-2，4).
例2求下列函數項級數的收斂域：
(1)∑∞n=11xn-1；(2)∑∞n=21(n-1)n(x2-x+1)n；
(3)∑∞n=1(-1)n2n1+x1-xn；(4)∑∞n=1ln(1+n)nx.
解(1)limn→∞un+1(x)un(x)=limn→∞｜xn-1｜｜xn+1-1｜=
1｜x｜＜1，即｜x｜＞1時，∑∞n=11xn-1收斂；
1，即-1＜x＜1時，方法失效；
不存在，即x=±1時，方法失效.
當｜x｜＜1時，通項un(x)=1xn-1n→∞-1≠0；
當x=-1時，u2n(-1)不存在；
x=1時，un(1)不存在.
∴x=±1時，∑∞n=11xn-1發散，
故∑∞n=11xn-1的收斂域為(-∞，-1)∪(1，+∞).
(2)limn→∞nun(x)
=limn→∞n1(n-1)n(x2-x+1)n=x2-x+1.
所以當x2-x+1＜1，即x2-x＜0時，∑∞n=11(n-1)n(x2-x+1)n收斂；
即0＜x＜1時，∑∞n=11(n-1)n(x2-x+1)n收斂.
而x=0時，原級數=∑∞n=21(n-1)n收斂；
x=1時，原級數=∑∞n=21(n-1)n收斂，
故∑∞n=11(n-1)n(x2-x+1)n的收斂域為［0，1］.
(3)limn→∞n｜un(x)｜
=limn→∞n12n1+x1-xn=1+x1-x.
當1+x1-x＜1，即x＜0時，∑∞n=1(-1)n2n1+x1-xn收斂，
當x=0時，原級數=∑∞n=1(-1)n2n收斂.
故∑∞n=1(-1)n2n1+x1-xn的收斂域為(-∞，0］.
(4)使用比較法：
當x≤1時，由於∑∞n=11nx發散，而當n≥2時，ln(1+n)nx≥1nx，
所以∑∞n=1ln(1+n)nx也發散；
當x＞1時，取p∈（1，x），由於∑∞n=11np收斂，而且limn→∞ln(1+n)nx1np=limn→∞ln(1+n)nx-p=0.
所以∑∞n=1ln(1+n)nx收斂，因此∑∞n=1ln(1+n)nx的收斂域為(1，+∞).
例3求下列冪級數的收斂半徑及收斂域：
(1)∑∞n=1ln(1+n)nxn-1；(2)∑∞n=0x2n2n；
(3)∑∞n=1(x+1)2n-1n+22n；
(4)∑∞n=1ann+bnn2(x-1)2n(a，b＞0).
解(1)∵limn→∞ln(2+n)n+1ln(1+n)n=limn→∞nn+1·ln(2+n)ln(1+n)=1，
∴收斂半徑R=1.顯然x=1時，∑∞n=1ln(1+n)n發散.
下麵討論x=-1時，∑∞n=1(-1)n-1ln(1+n)n的收斂性：
這是一個交錯級數，令g(x)=ln(1+x)/x，
則g′(x)=1-11+x-ln(1+x)x2.
再令h(x)=1-11+x-ln(1+x)，
有h′(x)=1(1+x)2-11+x＜0，(x＞0時)且h(0)=0.因而h(x)＜h(0)=0.(x＞0時)，所以g′(x)＜0.
當x＞0時，g(x)單調遞減，且limn→∞ln(1+n)n=0.所以，由萊布尼茲判別法知∑∞n=1(-1)n-1ln(1+n)n收斂.
故∑∞n=1ln(1+n)nxn-1的收斂域為［-1，1).
(2)解法一考察∑∞n=0x2n2n，利用比值法limn→∞x2n+122n+1·2n｜x2n｜=x22.
當x22＜1時，即｜x｜＜2時，原冪級數收斂；
當x22＞1時，即｜x｜＞2時，原冪級數發散.
因此原冪級數的收斂半徑為R=2，當x=±2時，原冪級數發散.
所以∑∞n=0x2n2n的收斂半徑為R=2，收斂區間為(-2，2).
解法二作變換x2=t，則原冪級數化為∑∞n=0tn2n.按公式可求得其收斂區間t∈(-2，2)，再回代，求得原冪級數的收斂區間為(-2，2).
(3)limn→∞n｜un(x)｜=limn→∞n｜x+1｜2n｜n+22n｜=｜x+1｜222.
當｜x+1｜222＜1時，即｜x+1｜＜2，即-3＜x＜1時，∑∞n=1(x+1)2n-1n+22n收斂；
當x=-3時，原級數等於∑∞n=1(-2)2n-1n+22n發散(∵un→/0)；
當x=1時，原級數等於∑∞n=122n-1n+22n發散(∵un→/0)，
∴∑∞n=1(x+1)2n-1n+2n的收斂域為(-3，1)，收斂半徑R=1-(-3)2=2.
(4)limn→∞nann+bnn2(x-1)2n=a(x-1)2，a≥b；
b(x-1)2，a＜b.
①當a≥b時，由a(x-1)2＜1，即1-1a＜x＜1+1a時，原級數收斂；
而x=1±1a時，原級數=∑∞n=1ann+bnn2(±1a)2n發散，故收斂域為1-1a，1+1a，收斂半徑為1a.
②當a＜b時，由b(x-1)2＜1，即1-1b＜x＜1+1b時，原級數收斂；而x=1±1b時，原級數=∑∞n=1ann+bnn2(±1b)2n收斂.
故收斂域為［1-1b，1+1b］，收斂半徑為1b.
(二)無窮級數(冪級數)求和
求和的一般程序是：
(1)求出所給級數的收斂域；
(2)通過逐項求導或逐項積分公式，將所給無窮級數化為常用函數的冪級數展開式的形式；
(3)對於所得的和函數作與(2)相反的運算，得出原冪級數的和函數.
例4求下列各冪級數的和函數：
(1)∑∞n=1xnn；(2)∑∞n=1nxn；
(3)∑∞n=1n(n+1)xn；
(4)∑∞n=1(-1)n-1n(2n-1)x2n；
(5)∑∞n=1n2n!xn；(6)∑∞n=1n(x-1)n.
解(1)收斂半徑R=1，當x=-1時，級數收斂；當x=1時，級數發散.
令f(x)=∑∞n=1xnn，有f(0)=0，逐項微分得
f′(x)=∑∞n=1xn-1=11-x，｜x｜＜1.
再逐項積分得
f(x)=∫x0f′(x)dx=∫x011-xdx=ln11-x，-1≤x＜1.
這裏的積分下限之所以取為0，是因為考慮到f(0)=0之故.
(2)收斂半徑R=1，當x=±1時，級數發散.
令f(x)=∑∞n=1nxn=x+2x2+3x2+…=x(1+2x+3x2+…)，
記g(x)=1+2x+3x2+….
逐項積分，得∫x0g(x)dx=x+x2+x3+…=x1-x，｜x｜＜1.
於是g(x)=x1-x′=1(1-x)2，故f(x)=x(1-x)2，｜x｜＜1.
(3)收斂半徑R=1，x=±1時，級數發散.
令
f(x)=∑∞n=1n(n+1)xn=x(1·2+2·3x+3·4x2+…)，
記g(x)=1·2+2·3x+3·4x2+…，則
∫x0g(x)dx=2x+3x2+4x3+…=(x2+x3+x4+…)′=
x21-x′=2x-x2(1-x)2，
∴g(x)=2x-x2(1-x)2′=2(1-x)3.
故有f(x)=2x(1-x)3，｜x｜＜1.
(4)收斂半徑R=1，x=±1時，級數收斂.
令f(x)=∑∞n=1(-1)2n-1n(2n-1)x2n，則
f′(x)
=2∑∞n=1(-1)n-12n-1x2n-1=2x1-x33+x55-x77+…=
2∫x0x1-x33+x55-x77+…′dx=
2∫x0(1-x2+x4-x6+…)dx
=2∫x011+x2dx=2arctanx，｜x｜≤1，
所以
f(x)=∫x02arctanxdx=2xarctanx-ln(1+x2)，｜x｜≤1.
(5)收斂半徑R=+∞，設此級數的和函數為f(x).
f(x)=x+222!x2+323!x3+…+n2n!xn+(n+1)2(n+1)!xn+1+…=
x［1+2x+32!x2+…+n(n-1)!xn-1+n+1n!xn+…］.
記g(x)=1+2x+32!x2+…+n(n-1)!xn-1+n+1n!xn+…
則∫x0g(x)dx=x+x2+x32!+…+xn(n-1)!+xn+1n!+…=x1+x+x22!+…+xn-1(n-1)!+xnn!+…=xex.
所以g(x)=(xex)′=(x+1)ex，故f(x)=x(x+1)ex.
(6)作變換t=x-1，則原級數為
∑∞n=1ntn=t∑∞n=1ntn-1=t(∑∞n=1tn)′=t11-t-1′=t(1-t)2.
∴原級數為∑∞n=1n(x-1)n=x-1(2-x)2，x∈(0，2).
例5求冪級數∑∞n=0(2n+1)x2nn!的收斂域及和函數.
解法一設和函數為S(x)，即S(x)=∑∞n=0(2n+1)n!x2n，兩端積分，得
∫x0S(x)dx=∑∞n=01n!x2n+1
=x·∑∞n=0(x2)nn!=xex2，
∴S(x)=(xex2)′=ex2(1+2x2).
因為ex展開式的收斂域為(-∞，+∞)，原冪級數也如此
解法二直接求和得
S(x)=∑∞n=0(2n+1)n!x2n
=1+∑∞n=12(n-1)!+1n!x2n
=1+2x2ex2+(ex2-1)=ex2(1+2x2)
∴S(x)=ex2(1+2x2).
解法三對S(x)=∑∞n=02n+1n!x2n逐項微分得
S′(x)=∑∞n=12(2n+1)(n-1)!x2n-1=2∑∞n=1［2(n-1)+1］+2(n-1)!x2(n-1)+1
=2x∑∞m=02m+1m!x2m+4x∑∞k=0(x2)kk!，
於是有S′(x)=2xS(x)+4xex2.
解以上一階線性微分方程，得S(x)=ex2(2x2+C).
∵S(0)=1，∴C=1，則有S(x)=ex2(1+2x2).
由於ex2的展開式的收斂域為(-∞，+∞)，則原冪級數的收斂域也為(-∞，+∞).
有時，可利用冪級數的求和法解決數項級數求和的問題.
即有∑∞n=0an=limx→1-∑∞n=0anxn.
例6求級數∑∞n=0(-1)n(n2-n+1)2n的和.
分析求數項級數之和的一種重要方法就是利用冪級數，使原級數的和為此冪級數的和函數在某點的取值.就本題而言，由於∑∞n=0(-1)n12n=23，故關鍵在於求∑∞n=0n(n-1)(-12)n的和.因此，隻要求出冪級數∑∞n=0n(n-1)xn的和函數即可.