在顯著水平α下，H0的拒絕域為｜T｜＞tα(n1+n2-2)，
T＞t2α(n1+n2-2)，
T＜-t2α(n1+n2-2)
(3)μ1，μ2未知，檢驗假設H0：σ21=σ22，
σ21≤σ22，
σ21≥σ22
當σ21=σ22時，取統計量F=S21S22～F(n1-1，n2-1)
在顯著水平α下，H0的拒絕為F＞Fα2(n1-1，n2-1)或F＜F1-α2(n1-1，n2-1)，
F＞Fα(n1-1，n2-1)，
F＜F1-α(n1-1，n2-1)
三、能力、思維、方法
［能力素質］
題型(一)關於數理統計的基本概念
例1設X1，X2，…，Xn為總體X～(0—1)分布的一個樣本，求樣本均值X的E(X)及D(X)，樣本方差S2的E(S2)
解來自總體X的樣本X1，…，Xn獨立同分布
Xi～(0—1)分布，則E(Xi)=p，D(Xi)=p(1-p)；
E(X)=E1n∑ni=1Xi=1n∑ni=1Xi=1n·np=p；
D(X)=D1n∑ni=1Xi
=1n2∑ni=1DXi=1n2·np(1-p)=p(1-p)n；
E(S2)=E1n-1∑ni=1(Xi-X)2
=1n-1E∑ni=1(X2i-2XiX+X2)
=1n-1E∑ni=1X2i-2X∑ni=1Xi+nX2
=1n-1E∑ni=1X2i-nX2=1n-1∑ni=1E(X2i)-nE(X2)
由D(X)=E(X2)-(EX)2，得
E(S2)=1n-1∑ni=1(D(Xi)+(EXi)2)-n(D(X)+(EX)2)
=1n-1∑ni=1(p(1-p)+p2)-np(1-p)n+p2
=1n-1［np-p(1-p)-np2］=1n-1［(n-1)p+p2-np2］
=n-1n-1p(1-p)=p(1-p)
例2設總體X服從參數為λ的泊鬆分布，試求來自總體X的樣本X1，X2，…，Xn的聯合分布律
解總體X～P(λ)，則樣本Xi～P(λ)，且相互獨立
∴由X～P(λ)，即P｛X=k｝=λkk!e-λ(k=0，1，2，…)，
有P｛X1=k1，…，Xn=kn｝=Πni=1λkiki!e-λ=λk1+k2+…+knk1!k2!…kn!e-nλ
例3設X1，X2，…，X10是來自正態總體X～N(0，22)的簡單隨機樣本，求常數a，b，c，d，使Y=aX21+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+d(X7+X8+X9+X10)2服從χ2分布，並求自由度m
解由χ2分布的定義知，若Xi是來自總體N(0，1)的樣本，則∑ni=1X2i服從χ2分布，且自由度為n
因此，X1～N(0，22)，X12～N(0，1)；
X122～χ2(1)，X2+X3～N(0，8)；
18(X2+X3)2～χ2(1)，X4+X5+X6～N(0，12)；
112(X4+X5+X6)2～χ2(1)，X7+X8+X9+X10～N(0，16)；
116(X7+X8+X9+X10)2～χ2(1)
由χ2分布的可加性，
14X21+18(X2+X3)2+112(X4+X5+X6)2+116(X7+X8+X9+X10)127～χ2(4)，
∴a=14，b=18，c=112，d=116時，Y服從自由度為4的χ2分布
例4設總體X～N(0，σ2)，X1，X2是總體的一個樣本，求Y=(X1+X2)2(X1-X2)2的概率分布
解∵X1～N(0，σ2)，X2～N(0，σ2)，
∴X1+X2～N(0，2σ2)，X1-X2～N(0，2σ2)；
∴X1+X22σ～N(0，1)，X1-X22σ～N(0，1)
由χ2分布的定義知X1+X22σ2～χ2(1)，X1-X22σ2～χ2(1)
再由F分布的定義得：Y=(X1+X2)/2σ2(X1-X2)/2σ2=(X1+X2)2(X1-X2)2～F(1，1)
例5設總體X服從正態分布N(62，100)，為使樣本均值大於60的概率不小於095，問樣本容量n至少應取多大?
解設樣本容量為n，有X-μσ/n～N(0，1)，則
P｛X＞60｝=PX-6210/n＞60-6210/n=1-Φ(-0.2n)=Φ(0.2n)≥0.95
查正態分布表得Φ(1.64)≈0.95，
∴0.2n≥1.645，有n≥1.6450.22=67.65
取n至少等於68即可
題型(二)關於參數估計
例6設X1，X2，…，Xn(n≥2)是正態總體N(μ，σ2)的一個簡單隨機樣本，選擇適當的常數C，使C∑n-1i=1(Xi+1-Xi)2為σ2的無偏估計
解要使Y=C∑n-1i=1(Xi+1-Xi)2成為σ2的無偏估計，就應有
EY=σ2，即C∑n-1i=1E(Xi+1-Xi)2=σ2
今已知EXi=μ，DXi=σ2，
E(Xi+1-Xi)2=E(X2i+1-2Xi+1Xi+X2i)=EX2i+1-2EXi+1EXi+EX2i
=DXi+1+(EXi+1)2-2μ2+DXi+(EXi)2
=σ2+μ2-2μ2+σ2+μ2=2σ2
∴EY=C∑n-1i=12σ2=2σ2(n-1)C=σ2，有C=12(n-1)
例7設總體X服從幾何分布：P｛X=k｝=p(1-p)k-1，k=1，2，…，0＜p＜1
求證樣本均值X=1n∑ni=1Xi是EX的相合和無偏估計量
證明(1)無偏性，即E()=θ
E(X)=E1n∑ni=1Xi=1n∑ni=1EXi=EX
(2)相合性，即limn→∞P｛｜-θ｜＞ε｝=0
EX=∑∞k=0kP｛X=k｝=p∑∞k=0k(1-p)k-1=p∑∞k=1ddx(xk)x=1-p
=pddx∑∞k=1kxkx=1-p=px1-x′x=1-p=1p；
E(X2)=∑∞k=0k2P｛X=k｝=p∑∞k=0k2(1-p)k-1=p∑∞k=1kddx(xk)x=1-p
=pddxx∑∞k=1kxk-1x=1-p=pddxx·ddx∑∞k=1xkx=1-p
=px(1-x)2′x=1-p=2-pp2；
DX=EX2-(EX)2=1-pp2；
D(X)=D1n∑∞i=1Xi=1n2∑ni=1DXi=1nD(X)＜∞
由切比雪夫不等式
P｛｜X-EX｜≥ε｝≤DXε2=DXnε2→0(n→∞)，
∴X是相合估計量
例8設總體X服從［θ1，θ2］上的均勻分布，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本，求θ1，θ2的矩估計量和極大似然估計量
解矩估計：E(X)=∫θ2θ1xθ2-θ1dx=θ22-θ212(θ2-θ1)=12(θ1+θ2)
D(X)=1θ2-θ1∫θ2θ1x-θ1+θ222dx=112(θ2-θ1)2
令X=12(1+2)，
S2=112(2-1)2，有1=X-3S，
2=X+3S
極大似然估計：似然函數為L(θ1，θ2)=1θ2-θ12，θ1≤X(1)≤X(n)≤θ2，
0，其他
因為該函數不連續，所以要使L(θ1，θ2)最大，隻有θ2-θ1最小
即使2盡可能小，1盡可能大，
∴1=X(1)，
2=X(n)
例9設總體X的密度函數為f(x)=(β+1)xβ，0＜x＜1，X1，X2，…，Xn為其子樣，求參數β的矩估計和極大似然估計
解EX=∫+∞-∞xf(x；β)dx=∫10(β+1)xβ+1dx=β+1β+2，
∴β+1β+2=X，則=11-X-2
極大似然函數為L(x1，x2，…，xn；β)=Πni=1(β+1)xβi=(β+1)nΠni=1xβi是連續函數
取對數lnL(x1，x2，…，xn；β)=nln(β+1)+β∑ni=1lnxi
令dlnLdβ=∑ni=1lnxi+nβ+1=0
∴=-1-n∑ni=1lnxi
例10任意抽取12袋小包裝麵粉進行檢測，得重量(單位克)為
3 3203 0002 6003 1003 4003 000
2 8803 1602 5403 6002 5203 560
假設每袋麵粉重量X～N(μ，σ2)
求：小包裝麵粉重量的方差的置信度為95%的置信區間
解α=0.05，n-1=11
x=112(3 320+3 000+…+3 560)≈3 057，
s2=111∑12i=1(xi-3 057)2≈140 900
∴方差的置信度為95%的置信區間為(n-1)s2χ2α2(n-1)，(n-1)s2χ21-α2(n-1)
其中P｛W≥χ2α2(n)｝=P｛W≤χ21-α2(n)｝=α2
即P｛W≥χ2α2(n)｝=0.025，查表得χ2α2(n-1)=21.9
P｛W≥χ21-α2(n)｝=1-α2=0.975，查表得χ21-α2=3.82
∴置信區間為11×140 90021.9，11×140 9003.82=(70 700，405 000)
題型(三)關於假設檢驗
例11某電器元件的平均電阻一直保持在264Ω改變加工工藝後，測得100個元件的電阻，計算得平均電阻為262Ω，標準差S為0.06Ω假設電阻值X～N(μ，σ2)問新工藝對此元件的(平均)電阻有無顯著影響(給定顯著水平α=0.01)
解H0：μ=2.64，統計量U=X-μ0σ/n～N(0，1)
已知n=100，x=2.62，s=0.06
由α=0.01，查表得uα2=2.57
又｜x-μ0｜=0.02，uα2·sn=2.57×0.0610=0.015，
∴｜X-μ0｜＞uα2Sn
故新工藝對元件的(平均)電阻有顯著影響
例12酒廠用自動裝瓶機裝酒，每瓶規定重量為500g，標準差不超過10g，每天定時檢查.某天抽取9瓶，測得平均重量為x=499g，標準差為s=16.03g假設瓶裝酒的重量X服從正態分布問這台機器工作是否正常?(α=0.05)
解檢查機器工作是否正常，要同時檢驗瓶裝酒的重量X的平均值μ和方差σ2是否正常
已知X～N(μ，σ2)，n=9，α=0.05，x=499，s=16.03
(1)H0：μ=500，σ2未知
取統計量T=X-500S/9～t(n-1)=t(8)
對α=0.05查t分布表得tα2(8)=2.306
又∵｜t｜=499-50016.03/9≈0.187＜2.306
∴接受H0即在顯著水平α=0.05下，可以認為平均每瓶酒淨重500g，該機器無係統誤差
(2)H′0：σ2≤102，μ未知
取統計量χ2=(n-1)S2σ2～χ2(n-1)=χ2(8)
對α=0.05，查χ2分布表，得χ20.05(8)=15.5
又∵χ2=(9-1)×16.032102≈20.56＞15.5，
∴拒絕接受H′0，可以認為方差超過102，即該台機器運轉雖無係統誤差，但不夠穩定因此，在α=0.05下，可以認為這天該機器工作不夠正常
例13某廠所生產的某種細紗支數的標準差為12，現從某日生產的一批產品中隨機抽取16縷進行支數測量，求得樣本標準差為21，設細紗的支數服從正態分布，問細紗的均勻度有無顯著變化(α=0.05)?
解H0：σ2=1.22
取統計量χ2=(n-1)S2σ20～χ2(n-1)
已知σ20=1.22，n=16，S=2.1，由此得統計量χ2的觀測值
χ2=(16-1)×2.121.22=45.9
對於給定的顯著水平α=0.05，查自由度為15的χ2分布表得：
χ20.975(15)=6.26，χ20.025(15)=27.5
∵χ2＞χ20.025(15)，
∴拒絕接受H0，即應該認為細紗的均勻度有顯著變化
例14有兩台機床加工同一種零件，分別取6個及9個零件測量其口徑數據，記為X1，X2，…，X6及Y1，Y2，…，Y9，計算得
∑6i=1Xi=204.6，∑6i=1X2i=6 97893，∑9i=1Yi=370.8，∑9i=1Y2i=15 280.173