何種情況下用洛比達法則求函數極限較合適
數學教學與研究
作者：何冬梅
摘 要： 洛比達法則是高等數學中的重要內容之一，是解決某些極限問題的重要方法.熟練掌握洛比達法則求極限的方法，對學好高等數學有十分重要的意義.
關鍵詞： 洛比達法則 函數極限 求解方法
極限是微分學的基礎，它貫穿微分學的始終，求極限是高等數學中的重要章節，洛比達法則是求極限方法中的一種重要方法，它能使運算過程簡單化，但由於求極限的方法較多，本來可以用洛比達法則解決的問題，有的學生卻不知該如何入手，采用什麼方法解決問題.筆者就自己的教學工作經驗，論述如下，希望能起到拋磚引玉的作用.
一、洛比達法則的定義
定理1：如果函數f（x）、g（x）滿足
（1）當x→a或x→∞時，f（x）→0，g（x）→0
（2）f′（x）和g′（x）存在且g′（x）≠0
（3）lim存在（或為無窮大）
那麼lim=lim.
定理2：如果函數f（x）、g（x）滿足
（1）當x→a或x→∞時，f（x）→∞，g（x）→∞
（2）f′（x）和g′（x）存在且g′（x）≠0
（3）lim存在（或為無窮大）
那麼lim=lim.
以上兩個定理中所給出的求極限的方法統稱為洛比達法則.
這個法則是由瑞士數學家約翰·伯努利發現的，因此也被稱為伯努力法則.
二、求函數極限的方法
1.直接代入法
當未知數x→常數a，且函數在x→a的某一鄰域內連續，則原極限等於x的地方用a代替，再計算出結果.
2.當x→a時，函數中的分母→0，則有以下情形：
（1）當函數是分式，可分別對分子、分母因式分解、約分、化簡後再用代入法求極限.
（2）當函數中有根式出現時，則先對分子或分母有理化（用平方差公式）及化簡後再求極限.
（3）當分子、分母都是多項式，且分子，分母都→0時，可用洛比達法則求極限.
3.運用兩個重要極限公式求極限
（1）=1
（2）（1+）=e
4.運用洛比達法則求極限
隻要滿足定理：1.定理2的求極限的條件，就可用洛比達法則.定理1和定理2中的求極限問題分別稱為型未定式、型未定式，其他型的未定式∞-∞型、1、0、∞均可轉化為型或型，再進一步求極限.
5.利用等價無窮小量替換法求極限
當x→0，替換如下：
x～sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln（1+x）～e-1；
1-cosx～；（1+x）-1～ax（a≠0）
隻有在等價的無窮小前提下及因式中才可以替換.
三、在什麼情況下用洛比達法則求極限較合適
顯然，在上述中已敘述過，當求極限的問題屬於型、型未定式可用洛比達法則，其他如∞-∞型、1、0、∞型的未定式可轉化成以上兩種後再用洛比達法則.
采用此方法解題的好處是：簡單：快捷.
兩邊夾法則：隻有在等價的無窮及因式中才可以替換.
兩邊夾法則：若g（x）≤f（x）≤h（x）且g（x）=h（x）=A，
則f（x）=A.
綜上所述，當遇到“商的極限”且是屬於型或型未定式時，用洛比達法則求極限比較合適.當然還有1型、0型、∞-∞型、∞型經過轉化後也可用此法則.解題時一定要注意，隻有滿足條件時才能用，否則就會導致錯誤；隻要滿足條件，則可連續使用；某些較複雜的題中，應與其他方法結合起來，簡化運算過程.也隻有熟練掌握以上求極限的各種方法，才能把高等數學學好，為今後各學科的學習打下堅實的基礎.
參考文獻：
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